《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 习题课 一、积分不等式： 1.利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例1、 neZ' 正：注意在区间[0,1]止有子≤x-x+1≤1，一. 例2、证明不等式n+1+分+女1+hm 1 正：考痣函数-n≤<m+1n=1,2,g)-=xe,+o)。 易见对任何n,在区间[1，n+1)上g(x)和fx)均单调，因此可积，且有 8)sf),注意到g)f),就有了g达<j/wh.而 恤空j达-2j- 因此有以a+<空=1+分+号 nn≤<n+1n=l,2.,g闭-xe,+o) 取f)= 在区间L,n+1】仿以上讨论，有jgx)>了fx达.而 [g(x)dx=In n
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 习题课 一、 积分不等式： 1． 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例 1、 证明不等式 + − − + 1 0 2 1 , 3 4 1 1 n Z n dx x x x n n . 证： 注意在区间 [ 0 , 1 ]上有 1 1 4 3 2 x − x + , . 例 2、 证明不等式 n n n 1 ln 1 2 1 ln( +1) 1+ ++ + . 证：考虑函数 , 1, 1, 2 , 1 ( ) = n x n + n = n f x , , [1, ) 1 ( ) = x + x g x . 易见对任何 n , 在区间 [1, n +1] 上 g(x) 和 f (x) 均单调, 因此可积,且有 g(x) f (x) , 注意到 g(x) f (x) , 就有 + + 1 1 1 1 ( ) ( ) n n g x dx f x dx . 而 = + = + = + = = = n i i i n i i i n i n i dx i f x dx f x dx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) , + = 1 1 ( ) n g x dx + + = = + 1 1 1 1 ln | ln( 1) n n x n x dx . 因此有 1 2 1 1 1 ln( 1) 1 i n n n i + = + + + = . 取 , 1, 1, 2 , 1 1 ( ) + = + = n x n n n f x , , [1, ) 1 ( ) = x + x g x . 在区间 [1, n +1] 仿以上讨论, 有 n n g x dx f x dx 1 1 ( ) ( ) . 而 = n g x dx n 1 ( ) ln , i i n f x dx n n i n i i i 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 = + + + + = + = − = − = +
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 n 综上。有不等式a+01+宁1+hn n 2、某些不等式的积分推广： 原理：设函数f(x)和g(x)在区间【a,b]上可积.T为区间【a,b]的n 等分分 法，5∈xx】.若对任何n和1≤i≤n,均有 立代传)片≤立6)片即得它飞)2≤立)2. 令n→o,注意到函数f(x)和g(x)在区间【a,b]上可积，即得积分不等式 (dsg(ds 精若通数心和Ψ法续，还可由©25片月Ψ它6月一 Gfs4C8 例3、证明Schwarz不等式 (亦称为Cauchy-Ey H R K O B C K H庄不等式)： 设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续（其实只要可积就可).则有不 等式 [ngcdssod. 证法一：（由Cauchy不等式→Schwarz不等式.Cauchy不等式 参阅 []上册P4Bx第10题：设{a,a,a,}和{6，b,bn}为两组实数，则 2
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 n n 1 ln 1 2 1 1+ ++ + . 综上 , 有不等式 n n n 1 ln 1 2 1 ln( +1) 1+ ++ + . 2、某些不等式的积分推广: 原理: 设函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上可积. T 为区间 [ a , b ] 的 n 等分分 法, [ , ] i i 1 i x x − . 若对任何 n 和 1 i n, 均有 ( ) ( ) = = n i n i i i n g n f 1 1 1 1 , 即得 ( ) ( ) = = − − n i n i i i n b a g n b a f 1 1 . 令 n →, 注意到函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上可积, 即得积分不等式 b a f (x)dx b a g(x)dx . 倘若函数 和 连续 , 还可由 ( ) ( ) = = n i i n i i n g n f 1 1 1 1 1 0 1 0 f g . 例 3、 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauchy–Буняковский 不等式 ): 设函数 f (x) 和 g(x) 在区间 [ a , b ] 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不 等式 b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 . 证法一： ( 由 Cauchy 不等式 Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式 参阅 [1] 上册 P4 Ex 第 10 题 : 设 { , , , } a1 a2 an 和 { , , , } b1 b2 bn 为两组实数, 则
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 有 位Aj八立.) 设T为区间【a,b]的n等分分法.由Cauchy不等式，有 25)g)s2r)2g(). 两端同乘以6->0，有 25)8)2f)2立(G) 令n→o,注意到函数f产(x)、g2x)和fx)gx)在区间【a,b]上的可积 性 以及函数①(x)=x2的连续性，就有积分不等式 cds 证法二：（用判别式法）对任何实数1，有(f(x)+g(x)≥0， (fx)+g=(r2f2(ax)+g2x)+2 x)g(x)≥0，即 （C(x)达+2Cfx)gx)d+g(x本≥0对任何实数1成 立 即上述关于1的二次不等式的解集为全体实数，于是就有
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 有 = = = n i n i i i n i aibi a b 1 1 2 2 2 1 . ) 设 T 为区间 [ a , b ] 的 n 等分分法. 由 Cauchy 不等式 , 有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 i 2 i 2 2 i 1 i i = = = n i n i n f g f g , 两端同乘以 0 ( ) 2 2 − n b a , 有 n b a g n b a f n b a f g n i n i i i n i i − − − = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 i 1 , 令 n →, 注意到函数 ( ) 2 f x 、 ( ) 2 g x 和 f (x) g(x) 在区间 [ a , b ] 上的可积 性 以及函数 2 (x) = x 的连续性，就有积分不等式 b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 . 证法二 ： （ 用判别式法 ） 对任何实数 t ，有 ( ( ) ( )) 0 2 tf x + g x ， ( ) ( ) + = + + b a b a tf (x) g(x) dx t f (x) g (x) 2tf (x)g(x) dx 0 2 2 2 2 , 即 + + b a b a b a f (x)dx t 2 f (x)g(x)dx t g (x)dx 0 2 2 2 对任何实数 t 成 立. 即上述关于 t 的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 [r-r)([x)so. 即 [Cfxg(xd≤f产(xdgx 例4、∫eC[a,b]且∫>0.证明不等式 aa亮2-ar 证： 取)网.=而·对函数)和应用 1 Schwarz不等式，即得所证， 例5、设函数fx)在区间[0,1]上可积.试证明有不等式 iinsr. 证： 先用Jensen不等式法证明不等式：对x,x2,xn∈R,有不 等式 x+x2+.+xa +号++x (参阅上学期期末考试题第 21题) 设T为区间[0,1]的n等分分法.由上述不等式，有 别2 令n→∞，注意到函数f(x)和(x)在区间[0,1]上的可积性以及 函数x和√F的连续性，就有积分不等式
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 2 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0 2 2 2 − b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx , 即 b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 . 例 4、 f C [ a , b ] 且 f 0 . 证明不等式 − b a b a b a f x dx f x dx 2 ( ) ( ) ( ) . 证 ： 取 ( ) 1 ( ) ( ), ( ) f x x = f x x = . 对 函数 (x) 和 (x) 应 用 Schwarz 不等式, 即得所证 . 例 5、 设函数 f (x) 在区间 [ 0 , 1 ]上可积 . 试证明有不等式 1 0 2 1 0 | f | f . 证： 先用 Jensen 不等式法证明不等式 : 对 x1 , x2 , , xn R , 有不 等式 n x x x n x x xn n 2 2 2 2 1 2 1 + + + + ++ . ( 参阅上学期期末考试题第 21 题 ) 设 T 为区间 [ 0 ,1] 的 n 等分分法. 由上述不等式 , 有 = = n i n i n n i f n n i f 1 2 1 1 1 . 令 n →, 注意到函数 f (x) 和 ( ) 2 f x 在区间 [ 0 , 1 ]上的可积性以及 函数 | x | 和 x 的连续性，就有积分不等式
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 ≤ 仿该例，可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分 形式.例 如[1]P334-335Ex2,6,8. 二、面积函数的导数： 例6、求品血r和云mrh 例7、 求("artgrd）和云snid 例8、求品产>1 例9、 设x≥0时函数f(x)连续且 Jf0d=x.求f) () r'-I 例10、设函数f(x)连续且「f0)d=x+c.求c和f(7). 解：令x=1,c=-1:两端求导，户f)=2 例11、设f(x)∈C[a,b]. Fax)=f0x-)dt,x∈a,b1.试i证 明： F"(x)=f(x)
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 1 0 2 1 0 | f | f . 仿该例, 可得到均值不等式、用 Jensen 不等式法证明的某些不等式的积分 形式 .例 如[1]P334—335 Ex 2，6，8. 二、 面积函数的导数 : 例 6、 求 b a x dx dx d 2 sin 和 sin . 2 t dt dx d x a 例 7、 求 10 2 x t e arctgt dt 和 sin . 2 0 x tdt dx d 例 8、 求 t t t x dx dt d 3 2 , 1 ln . 例 9 、 设 x 0 时函数 f (x) 连续且 = 2 0 3 ( ) x f t dt x . 求 f (x) . ( f (x) = x 2 3 ) 例 10、 设函数 f (x) 连续且 − = + 1 0 3 ( ) x f t dt x c . 求 c 和 f (7) . 解： 令 x = 1, c = −1 . 两端求导, f (7) = 12 1 . 例 11、 设 f (x) C[a,b] . F(x) = − x a f (t)(x t)dt , x [a,b] . 试证 明 : F(x) = f (x)