海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第六章 微分中值定理及其应用 6.1 微分中值定理

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 第六章微分中值定理及其应用 引言 在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法.这样一来，类似于求 己知曲线上点的切线问题已获完美解决但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题， 那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具 另一方面，我们注意到：(1)函数与其导数是两个不同的的函数：(2)导数只是反映函数 在一点的局部特征：(3)我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛 盾？需要在导数及函数间建立起一一联系一一搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的 应用. §6.1微分中值定理 教学章节：第六章微分中值定理及其应用一一§6.1微分中值定理 教学目标：学握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明 教学方法：系统讲解法。 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧AB上有一点P,该处的切线平行与弦AB. 如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧AB的函数是y=f(x),x∈[a,b] 的图像，点P的横坐标为x=5.如点P处有切线，则f(x)在点x=5处可导，且切线的斜率为f"(5): 另一方面，弦B所在的直线斜率为-@，曲线yf闭上点P的切线平行于弦 b-a B台f=f6)-f@ b-a

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 3 第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求 已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题, 那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数 在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛 盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的 应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1 微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧 AB 上有一点 P,该处的切线平行与弦 AB. 如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧 AB 的函数是 y=f(x),x  [a,b] 的图像,点 P 的横坐标为 x =  .如点 P 处有切线,则 f(x)在点 x =  处可导,且切线的斜率为 f ( )  ; 另一方面,弦 AB 所 在的直线斜 率为 f b f a ( ) ( ) b a − − ,曲线 y=f(x)上点 P 的切线 平行于弦 AB  ( ) ( ) ( ) f b f a f b a  −  = −

《数学分析多上册教整 第六音微分中值定理及其应用 海南大学数学系 撒开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及 函数在端点的函数值.这样这个公式就把函数及其导数联系起来.在二者之间架起了一座桥梁， 这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于5∈（α，b),故把类似公式称为“中值 公式”：把类似的定理称为中值定理. 剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实，可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不 连续或不可导（无切线），是不一定有上述结论的.换言之，如保证类似点P存在，曲线弧AB至 少是连续的，而且处处有切线.反映到函数y=f(x)上，即要求y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内 可导， 二、中值定理 Lagrange中值定理若函数f满足以下条件：(1)f在[a,b]上连续：(2)f在(a,b)内可 导.则在a,b)内至少存在一点5，使得了⑤=)-@ b-a 特别地，当f(a)=f(b)时，有如下Rolle定理： Rol1e定理若f满足如下条件：(1)fe[a,b]:(2)f在(a,b)内可导：(3)f(a)=f(b), 则存在5∈(a,b),使得f'(5)=0 如把曲线弧AB用参数方程函数，则可得出以下中值定理： Cauchy定理若函数f,g(x=g(u,y=f(u),ue[a,b])满足如下条件：(1)了，g∈[a,b]: (2)f,g在(a,b)内可导：(3)f,g至少有一个不为0：(4)g(a)≠gb).在存在5∈(a,b),使 得/（但=f6)-fa) g()g(b)-8(a) 说明(1)几何意义：Rol1:在每一点都可导的连续曲线，如果曲线两端点高度相同，则至 少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）；Lagrang:可微曲线上存在一点， 使其切线平行于端点的连线：Cauchy:视为曲线的参数：u=f(x),v=g(x),xe[a,b],则以v为横坐 标，“为纵坐标可得曲线上有一点，该处切线与曲线端点连线平行. (2)三个定理关系如下： Role←Lagrang←at_-Cauchy (3)三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rol1e定理为例，三个条件缺一不可.1)不可 导，不一定存在：2)不连续，不一定存在；3)f()≠f6),不一定存在.“不一定存在”意味着一 般情况如下：Rol1e定理不再成立.但仍可知有f()=0的情形发生.如y=sgmx,x∈[-l,1]不满 4

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 4 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及 函数在端点的函数值.这样这个公式就把函数及其导数联系起来.在二者之间架起了一座桥梁, 这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于  ( , ) a b ,故把类似公式称为“中值 公式”;把类似的定理称为中值定理. 剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实,可以发现：如果 y=f(x)在[a,b]上不 连续或不可导（无切线）,是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点 P 存在,曲线弧 AB 至 少是连续的,而且处处有切线.反映到函数 y=f(x)上,即要求 y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内 可导. 二、中值定理 Lagrange 中值定理 若函数 f 满足以下条件：（1）f 在[a,b]上连续;（2）f 在(a,b)内可 导.则在(a,b)内至少存在一点  ,使得 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a  −  = − . 特别地,当 f(a)=f(b)时,有如下 Rolle 定理： Rolle 定理 若 f 满足如下条件：（1）f  [a,b];（2）f 在(a,b)内可导;（3）f(a)=f(b), 则存在   (a,b),使得 f ( ) 0  = . 如把曲线弧 AB 用参数方程函数,则可得出以下中值定理： Cauchy 定理 若函数 f,g（x＝g(u),y＝f(u),u  [a,b]）满足如下条件：（1） f g a b , [ , ]  ; （2）f,g 在(a,b)内可导;（3） f g   , 至少有一个不为 0;（4）g(a)  g(b).在存在   (a,b),使 得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f b f a g g b g a    − =  − . 说明（1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至 少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）;Lagrang：可微曲线上存在一点, 使其切线平行于端点的连线;Cauchy：视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),x  [a,b],则以 v 为横坐 标,u 为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行. （2）三个定理关系如下： f a f b g x x ( ) ( ) ( ) Rolle Lagrang Cauchy ⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯ = = （3）三个定理中的条件都是充分但非必要.以 Rolle 定理为例,三个条件缺一不可.1）不可 导,不一定存在;2）不连续,不一定存在;3）f(a)  f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一 般情况如下：Rolle 定理不再成立.但仍可知有 f ( ) 0  = 的情形发生.如 y=sgnx,x  [-1,1]不满

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 足Ro1le定理的任何条件，但存在无限多个：e(~l,1),使得f()=0. (4)Lagrang定理中涉及的公式：⑤=b)-fL@称之为“中值公式”，这个定理也称 b-a 为微分基本定理.中值公式有不同形式：(i)f(b)-f(a)=f'(5)b-a),5∈(a,b):(ii) f(6)-f(a)=f(a+(b-a)06-a),0<0<1;(ii)f(a+h)-f(a)=f"(a+0h)h,0<0<1.此处，中值 公式对a<b,a>b均成立.此时5在a,b之间；(i)、(ⅲ)的好处在于无论a,b如何变化，0e(0,) 易于控制。 三、极值 定义3（极值）若函数f在区间I上有定义，x。∈1.若存在x的邻域U(x),使得对于任 意的xeU(x),有f(x)≥f(x),则称f在点x,取得极大值，称点x,为极大值点.若存在x的邻域 U(),使得对于任意的x∈U(x),有fx)≤fx),则称f在点x取得极小值，称点，为极小值 点 极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点. 注1、极值是局部性概念，若fx)是极值，是和x点附近的函数值比较而言的，和离x较远 的地方无关：最值显然是对整个区间而言的，是整体概念. 2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值，且最大值和最小值各有一个，最大值小于最小值（常 函数除外)，但可能无极值.即使有极值，也可能不止一个，极小值也可能大于极大值.因此若f() 是函数的最值，则f(a)不可能是极值：若fx)（x,∈(a,b)是函数的最值，则一定是极值.（即 最值不一定是极值，反之，极值也不一定是最值，因此极值有很多，但若极值只有一个，即为最 值.) 极值存在的必要条件一一费马(Fermat)定理 费马定理若函数在点x的邻域内有定义，且在点x可导.若x为￡的极值点，则比有 "(x)=0.(即可导极值点的导数为零.)其几何意义：可导极值点出的切线平行于x轴)，称 满足方程f"(x)=0的点为稳定点 正明无妨设f)为极大值，则当△x>0时，且。+Ar∈U)时，有 f+△)-fx)s0 △x

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 5 足 Rolle 定理的任何条件,但存在无限多个   (-1,1),使得 f ( ) 0  = . （4）Lagrang 定理中涉及的公式： ( ) ( ) ( ) f b f a f b a  −  = − 称之为“中值公式”.这个定理也称 为微分基本定理.中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)= f ( )  (b-a) ,   (a,b);（ⅱ） f(b)-f(a)= f a b a b a ( ( ) )( ) + − −  ,0<  <1;（ⅲ）f(a+h)-f(a)= f a h h ( ) + ,0<  <1. 此处,中值 公式对 a<b,a>b 均成立.此时  在 a,b 之间;（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论 a,b 如何变化, (0,1) 易于控制. 三、极值 定义 3（极值） 若函数 f 在区间 I 上有定义, 0 x I  .若存在 0 x 的邻域 0 U x( ) ,使得对于任 意的 0 x U x  ( ),有 0 f x f x ( ) ( )  ,则称 f 在点 0 x 取得极大值,称点 0 x 为极大值点.若存在 0 x 的邻域 0 U x( ) ,使得对于任意的 0 x U x  ( ),有 0 f x f x ( ) ( )  ,则称 f 在点 0 x 取得极小值,称点 0 x 为极小值 点. 极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点. 注 1、极值是局部性概念,若 0 f x( ) 是极值,是和 0 x 点附近的函数值比较而言的,和离 0 x 较远 的地方无关;最值显然是对整个区间而言的,是整体概念. 2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值小于最小值（常 函数除外）,但可能无极值.即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值.因此若 f(a) 是函数的最值,则 f(a)不可能是极值;若 0 f x( ) （ 0 x a b ( , ) ）是函数的最值,则一定是极值.（即 最值不一定是极值,反之,极值也不一定是最值,因此极值有很多,但若极值只有一个,即为最 值.） 极值存在的必要条件――费马（Fermat）定理 费马定理 若函数在点 0 x 的邻域内有定义,且在点 0 x 可导.若 0 x 为 f 的极值点,则比有 0 f x ( ) 0 = .（即可导极值点的导数为零.）其几何意义：可导极值点出的切线平行于 x 轴）,称 满足方程 0 f x ( ) 0 = 的点为稳定点. 证明 无妨设 ( ) 0 f x 为极大值,则当 x  0 时,且 ( ) 0 0 x + x U x 时,有 0 ( ) ( ) 0 0   +  − x f x x f x

《数学分析》上册教坐 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 令△r→0*，得f"(x)≤0 f,+A-fwl≥0 当△x<0时，有 △x 令△x→0，得f(x)20,由此推得f(x)=0 Fermat定理表明导数为0是极值必要条件，但是如果f(x)∈Ca,)],那么它能达到最大值， 如果它又可导，在(a,b)内(x)=0只有一个根，则比较f(a),f(xo),f(b)就可定出最大值. 由费马定理可知，可导极值点是稳定点，反之不然.如f(x)=x,点x=0是稳定点，但不是极 值点 达布(Darboux)定理（导函数的介值定理）若函数f在[a,b]上可导，且f(a)≠f(b),k 为介于f(a)和(b)之间的任一实数，则至少存在一点5∈(a,b),使得f(5)=k。 四、中值定理的证明 (一）Ro11e定理 证明因为f)eC[a,],fx)在[a,b]上有最大值M与最小值m,如果M=m,则 f)=M,这时fx)=0,可取a,)中任意一点作为5，如果M>m,其中至少有一个不等于 f(a)=f(b),不妨设M>f(a）,我们假定fx)在5∈(a,b)取到最大值，f(5)=M,即5为一个极 值点，且f'(5)存在，由下ermat定理，f'(5)=0。 (仁）)Lagrange中值定理 证明作辅助函数 f(x)x1 G(x)=f(a)a 1 f(b)b 1 它有明显几何意义，即它表示连接三点f(x)x)(f(),a,(f(b),b的三角形面积之二倍， 那么G(x)∈C[a,b],在(a,b)可导，且Ga=Gb)=0,用Rolle定理，35∈(a,b),使得G'()=0, 即 f()10 f(a)a 1=0 f(b)b 1 ()-(D-fa) b-a 辅助函数造法很多，比如可以用以下方法

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 6 令 → + x 0 ,得 f (x0 )  0 . 当 x  0 时,有 0 ( ) ( ) 0 0   +  − x f x x f x .令 → − x 0 ,得 f (x0 )  0 ,由此推得 f (x0 ) = 0 . Fermat 定理表明导数为 0 是极值必要条件,但是如果 f (x) C[a,b],那么它能达到最大值, 如果它又可导,在 (a,b) 内 f (x) = 0 只有一个根,则比较 f (a) , ( ) 0 f x , f (b) 就可定出最大值. 由费马定理可知, 可导极值点是稳定点,反之不然.如 3 f x x ( ) = ,点 x=0 是稳定点,但不是极 值点. 达布（Darboux）定理（导函数的介值定理） 若函数 f 在[a,b]上可导,且 f a f b ( ) ( ) + −    ,k 为介于 f a( ) +  和 f b( ) −  之间的任一实数,则至少存在一点  ( , ) a b ,使得 f k ( )  = . 四、中值定理的证明 (一) Rolle 定理 证 明 因为 f (x) C[a,b] , f (x) 在 [a,b] 上有最大 值 M 与最小值 m ,如果 M = m ,则 f (x) = M ,这时 f (x) = 0 ,可取 (a,b) 中任意一点作为  ,如果 M  m ,其中至少有一个不等于 f (a) = f (b).不妨设 M  f (a) ,我们假定 f (x) 在   (a,b) 取到最大值, f ( ) = M ,即  为一个极 值点,且 f ( ) 存在,由 Fermat 定理, f ( ) = 0 . (二) Lagrange 中值定理 证明 作辅助函数 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) f b b f a a f x x G x = , 它有明显几何意义,即它表示连接三点 ( f (x), x), ( f (a),a), ( f (b),b) 的三角形面积之二倍, 那么 G(x) C[a,b] ,在 (a,b) 可导,且 G(a) = G(b) = 0 ,用 Rolle 定理,  (a,b) ,使得 G( ) = 0 , 即 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 0 =  f b b f a a f  , b a f b f a f − −  = ( ) ( ) ( ) . 辅助函数造法很多,比如可以用以下方法

《数学分析》上册教案 第六章微分中值定理及其应用 海南大学数学系 F()-f)-[fa)-fa-fb-a) a-b D(x)=[f(x)-f(a)l(b-a)-(x-a)[f(b)-f(a)]. Y(x)=f(xXb-a)-x[f(b)-f(a)]. 然后借助于Rolle定理都可证明Lagrange定理. f(a)-f(b 注释量a-b 表示连接两点A(a,f(a》和B(b,f(b》的弦的斜率，不管a<b还是a>b 都对.Lagrange定理表明存在(a,b)中一点，使∫'()恰等于这个斜率，Lagrange定理也称 Lagrange公式，它也可以写成f(x)=f(a)+f'(5(x-a),其中5介于x与a之间，它可以看成用 线性函数fa)+f(5r-a)在a局部对fm)的逼近.它还可写成 f(b)=f(a)+fTa+0(b-a)l(b-a) f(a+h)=f(a)+f'(a+eh)h 其中0<0<1，h=b-a. 这里5=a+0A,只要指出0=货满足0<0<1.当>0 时，a<5<a+h,0<5-a<h,0<<1,得0<0<1.当h<0时，a+h<5<a, 0<a-5<-h,0<<1,得0<0<1. (三)Cauchy定理 1(b)-f(a 正明对f和8分别应用Lagrange定理，我们可得g(b)-g(a)g'(),这里东与5，可能 不一样，这是一条错误之路，本定理关键要求是一致的5.作函数 f(x)g(x)1 G(x)=f(a)g(a)1 f(b)g(b)1 [X=f(x) 它的几何意义是在参数曲线Y=8)上，三点{U,gx》,a,ga》, b,gb}连成的三角形面积之二倍.则G()满足Rol1le定理条件，故5∈(a,b),使得 G'⑤=0，即g'5f)-fa=f(5[g)-ga】,得i证. 注1与Lagrange定理证明类似，我们也可借助其它形式的辅助函数，比如用

《数学分析》上册教案 第六章 微分中值定理及其应用 海南大学数学系 7       − − − = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a a b f a f b F x f x f a , (x) = [ f (x) − f (a)](b − a) − (x − a)[ f (b) − f (a)], (x) = f (x)(b − a) − x[ f (b) − f (a)] . 然后借助于 Rolle 定理都可证明 Lagrange 定理. 注释 量 a b f a f b − ( )− ( ) 表示连接两点 A(a, f (a)) 和 B(b, f (b)) 的弦的斜率,不管 a  b 还是 a  b 都对.Lagrange 定理表明存在 (a,b) 中一点,使 f ( ) 恰等于这个斜率,Lagrange 定理也称 Lagrange 公式,它也可以写成 f (x) = f (a) + f ( )( x − a) ,其中  介于 x 与 a 之间,它可以看成用 线性函数 f (a) + f ( )( x − a) 在 a 局部对 f (x) 的逼近.它还可写成 f (b) = f (a) + f [a + (b − a)](b − a) , f (a + h) = f (a) + f (a + h)h , 其中 0  1, h = b − a . 这里  = a + h ,只要指出 h −a =   满足 0  1.当 h  0 时, a    a + h , 0   − a  h , 0   1 − h  a ,得 0  1.当 h  0 时, a + h    a , 0  a −  −h , 0   1 − − h a  ,得 0  1. (三) Cauchy 定理 证明 对 f 和 g 分别应用 Lagrange 定理,我们可得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   g f g b g a f b f a   = − − ,这里 1  与  2 可能 不一样,这是一条错误之路,本定理关键要求是一致的  .作函数 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) f b g b f a g a f x g x G x = , 它的几何意义是在参数曲线    = = ( ) ( ) Y g x X f x 上,三点 {( f (x), g(x)), ( f (a), g(a)), ( f (b), g(b))} 连成的三角形面积之二倍.则 G(x) 满足 Rolle 定理条件,故  (a,b) ,使得 G( ) = 0 ,即 g( )[ f (b) − f (a)] = f ( )[g(b) − g(a)] ,得证. 注 1 与 Lagrange 定理证明类似,我们也可借助其它形式的辅助函数,比如用