《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §4定积分的性质 教学目标：掌握定积分的性质. 教学内容：定积分的基本性质：积分第一中值定理 (1)基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理. (2)较高要求：较难的积分不等式的证明. 教学建议： (1)定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用. (②)较难的积分不等式的证明是本节的难点.对较好学生可布置这方面的习题. 教学过程： 我们在8.1、8.3节的基础上将推导出定积分的以下性质。 在8.1节的定积分定义中，我们假定积分区间a,b)的端点a<b,这在实际应用上往往带来 诸多不便，现在我们去掉这一限制。 当a<b时，区间【a,表示满足不等式aSx≤b,并且沿数轴由a到b的x值的全体构成的 集合，当a>b时，区间【a表示满足不等式a≤x≤b,并且沿数轴由a到b的x值的全体构成 的集合。如此定义下的区间统称为有向区间，简称为区间。事实上，区何a,小与区何[bd作 为集合元素是相同的，但方向相反。 设a<b,仿照f冈在区间a,月上的定积分的定义1，山，可定义f(四)在区间b,可上的定积 分如下： 在区间b,d由b到a取任意分法 △：x=b>x>x2>.>x,=a 任取5=传}，5e【,k=l2,”,作积分和 s4).25A
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 §4 定积分的性质 教学目标：掌握定积分的性质． 教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理． (1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理． (2) 较高要求：较难的积分不等式的证明． 教学建议： (1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用． (2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题． 教学过程： 我们在 8.1、8.3 节的基础上将推导出定积分的以下性质。 在 8.1 节的定积分定义中，我们假定积分区间 a b, 的端点 a b ，这在实际应用上往往带来 诸多不便，现在我们去掉这一限制。 当 a b 时，区间 a b, 表示满足不等式 a x b ，并且沿数轴由 a 到 b 的 x 值的全体构成的 集合；当 a b 时，区间 a b, 表示满足不等式 a x b ，并且沿数轴由 a 到 b 的 x 值的全体构成 的集合。如此定义下的区间统称为有向区间，简称为区间。事实上，区间 a b, 与区间 b a, 作 为集合元素是相同的，但方向相反。 设 a b ，仿照 f x( ) 在区间 a b, 上的定积分的定义 1.1，可定义 f x( ) 在区间 b a, 上的定积 分如下： 在区间 b a, 由 b 到 a 取任意分法 0 1 2 : n = x b x x x = a 任取 = k， k x x k k −1 , ，k n =1, 2, , ，作积分和 S (, ) = ( ) 1 n k k k f x =
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 若极限，5(A)存在，称此极限为（四在区间6，d上的定积分，记作 体26 如果将/(9在区间b,d上的积分和与在【a)上的积分和相比较，二者之间只相差 个负号。于是得到如下性质： 性质1：若函数feRa,则f(eR6,d,且 f(x本=-f本 (1) 另外规定函数(0)在一点处的定积分为f(本=0 从几何上看，上述规定是自然的。因为底边缩成一点a,而高为回)的曲边梯形，为一直 线段，其面积为零。 下面的讨论中，积分区间[a,)总是假定a<b,至于>b的情形，读者不难自行推出相应结 论。 性质2（线性性质）： 若函数f国，（冈ea,(,keR,则函数 kf)+k5()eRa,b],且 [f()+k(]=k心f本+ k[(xytr (2) 证：作函数()+k(9的积分和 2[)6】A-2A+2园a 由酸设，6)：，故肥宫)与思容5传)存在.于是由极限性 质知一[+】存在，从新人)，E R[a,且 巴2[k)+k5】k巴2(5)A+k三5()A
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 若极限 ( ) 0 lim d → S (, ) 存在，称此极限为 f x( ) 在区间 b a, 上的定积分，记作 ( ) a b f x dx = ( ) 0 lim d → ( ) 1 n k k k f x = 如果将 f x( ) 在区间 b a, 上的积分和与在 a b, 上的积分和相比较，二者之间只相差一 个负号。于是得到如下性质： 性质 1： 若函数 f x( ) R a b , ，则 f x( ) R b a , ，且 ( ) b a f x dx =− ( ) a b f x dx （1） 另外规定函数 f x( ) 在一点处的定积分为 ( ) a a f x dx = 0 从几何上看，上述规定是自然的。因为底边缩成一点 a ，而高为 f a( ) 的曲边梯形，为一直 线段，其面积为零。 下面的讨论中，积分区间 a b, 总是假定 a b ，至于 a b 的情形，读者不难自行推出相应结 论。 性 质 2 （ 线 性 性 质 ）： 若 函 数 f x 1 ( ) ， f x 2 ( ) R a b , ， 1 2 k k, R ，则函数 k f x 1 1 ( ) + k f x 2 2 ( ) R a b , ，且 1 1 2 2 ( ) ( ) b a k f x k f x dx + = 1 1 ( ) b a k f x dx + 2 2 ( ) b a k f x dx （2） 证： 作函数 k f x 1 1 ( ) + k f x 2 2 ( ) 的积分和 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 n k k k k f k f = + k x = 1 k 1 ( ) 1 n k k f = k x + 2 k 2 ( ) 1 n k k f = k x 由假设 f x 1 ( )， f x 2 ( ) R a b , ，故 ( ) 0 lim d → 1 ( ) 1 n k k f = k x 与 ( ) 0 lim d → 2 ( ) 1 n k k f = k x 存在。于是由极限性 质知 ( ) 0 lim d → 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 n k k k k f k f = + k x 存在，从而 k f x 1 1 ( ) + k f x 2 2 ( ) R a b , ，且 ( ) 0 lim d → 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 n k k k k f k f = + = 1 k ( ) 0 lim d → 1 ( ) 1 n k k f = k x + 2 k ( ) 0 lim d → 2 ( ) 1 n k k f = k x
《数学分析》教案 第九章定积分 海布大学数学系 即 [kf)+k5]本= k心(x本+心5（本 如果式(2中，令)=f因，方（冈=1：k=k,名=0，可得 推论1：若函数(ea月，keR,则()eRa,且 [kf(x)d=k["f(x)dx (3) 性质3（可加性质）：设1为一个有限闭区间，a,6ce1,若f()在1上可积，则/（冈在 a,)、[ad、【c,上均可积，且 广本=f本+fx (4) 证：利用函数可积充要条件式，可以证明()在1的任一子区间上均可积。 若cc(a,b),则对a小的任意分法A,总有 oS(A)-∫f(x (5) 这时将C始终作为分法△的一个分点，则 a).会)-)图)A (6) 与)分别表示相应于分法△函数国在ad与k创上的积分和， 这里) 由f)∈R[ad、f)eRc,及式(5)和式(6)，有 ∫心fx本_f+f(x 若c在【a,月之外，不妨设c>b,则f)ea,d,由上面的讨论，有 f(x女=∫心(x:+f(x
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 即 1 1 2 2 ( ) ( ) b a k f x k f x dx + = 1 1 ( ) b a k f x dx + 2 2 ( ) b a k f x dx 如果式（2）中，令 f x 1 ( ) = f x( )， f x 2 ( ) = 1 ； 1 k = k ， 2 k = 0 ，可得 推论 1：若函数 f x( ) R a b , ，k R ，则 kf x( ) R a b , ，且 ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx = （3） 性质 3（可加性质）： 设 I 为一个有限闭区间， a b c I , , ，若 f x( ) 在 I 上可积，则 f x( ) 在 a b, 、a c, 、c b, 上均可积，且 ( ) b a f x dx = ( ) ( ) c b a c f x dx f x dx + （4） 证：利用函数可积充要条件式，可以证明 f x( ) 在 I 的任一子区间上均可积。 若 c a b ( , ) ，则对 a b, 的任意分法 ，总有 ( ) 0 lim d → S (, ) = ( ) b a f x dx （5） 这时将 c 始终作为分法 的一个分点，则 S (, ) = ( ) 1 n k k f = k x = ( ) , k a c f k x ( ) , k c b + f k x （6） 这里 ( ) , k a c f k x 与 ( ) , k c b f k x 分别表示相应于分法 函数 f x( ) 在 a c, 与 c b, 上的积分和， 由 f x( ) R a c , 、 f x( ) R c b , 及式（5）和式（6），有 ( ) b a f x dx = ( ) ( ) c b a c f x dx f x dx + 若 c 在 a b, 之外，不妨设 c b ，则 f x( ) R a c , ，由上面的讨论，有 ( ) ( ) ( ) c b c a a b f x dx f x dx f x dx = +
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 从而 f(x本_f-∫fx体=广f(x女+f( 总之不论a、b、c在区间I的位置如何，总有式(4)成立。 性质4：若函数f(),(yeRa,],则乘积函()5(9eR[a,。 正：对于区间a,)的任意分法 △：x=a<x<x<<xn=b 记@)、，.()和a()分别为（冈、方（和（冈在飞x上的振辐，由函 数可积的必要条件，3M、M>0,使得 (x)≤M, 5(xsM,.x∈[a, 另一方面，x,ra,有 (x)5(x)-f(x)5(x [(x)-f(x)]5(x)+[5(x)-5(x)](x)≤ (x')(x')-(x+(x)53(x)-5(x≤ M2(x)-f(x")+M,5(x)-5(x) 于是有 a)=242()-+4黑（们-(W- M,0,(f)+M,o,(5) 从而 -2a三42o+w2@,A 已知，()eRa,),，上式右端的两个报幅和趋于((a)→0)，所以 2a)a=0即n()(*)cRlat. 性质5：（单调性质）：若函数(，8)eRa,且f()≤8()，xc[a,月，则
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 从而 ( ) b a f x dx = ( ) ( ) c c a b f x dx f x dx − ( ) ( ) c b a c = + f x dx f x dx 总之不论 a、b 、c 在区间 I 的位置如何，总有式（4）成立。 性质 4：若函数 f x 1 ( )， f x 2 ( ) R a b , ，则乘积函 f x 1 ( ) f x 2 ( ) R a b , 。 证： 对于区间 a b, 的任意分法 0 1 2 : n = = x a x x x b 记 k ( f 1 ) 、 k ( f 2 ) 和 k ( f f 1 2 ) 分别为 f x 1 ( )、 f x 2 ( ) 和 f x f x 1 2 ( ) ( ) 在 x x k k −1 , 上的振幅，由函 数可积的必要条件， M1、 M2 0 ，使得 f x M 1 1 ( ) ， f x M 2 2 ( ) ， x a b , 另一方面， x x a b , , ，有 f x f x f x f x 1 2 1 2 ( ) ( ) − = ( ) ( ) f x f x f x f x f x f x 1 1 2 2 2 1 ( ) − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x 2 1 1 ( ) ( ) − ( ) + − f x f x f x 1 2 2 ( ) ( ) ( ) M f x f x M f x f x 2 1 1 1 2 2 ( ) − + − ( ) ( ) ( ) 于是有 k ( f f 1 2 ) = , , 1 sup k k x x x x − 1 2 , , sup k k x x x x M − f x f x 1 1 ( ) − + ( ) 1 1 , , sup k k x x x x M − f x f x 2 2 ( ) − = ( ) M f 2 1 k ( ) + M f 1 2 k ( ) 从而 ( ) 0 lim d → ( 1 2 ) 1 n k k k f f x = 2 1 1 2 ( ) ( ) 1 1 n n k k k k k k M f x M f x = = + 已知 f x 1 ( )， f x 2 ( ) R a b , ，上式右端的两个振幅和趋于 0 0 (d ( →) ) ，所以 ( ) 0 lim d → ( 1 2 ) 1 n k k k f f x = = 0 即 f x 1 ( ) f x 2 ( ) R a b , 。 性质 5：（单调性质）： 若函数 f x( )， g x( ) R a b , ，且 f x( ) g x( ) ， x a b , ，则
《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 心f本≤g(x)* (7) 由定积分的定义1.1很容易看出性质5的正确性。 推论2：若函数f()ea,且m≤f)sM,xe[a,则 m(b-a)sf(x≤M(b-ad） (8) 推论3：若函数f(eR[a,且f(≥0（≤0），xa月，则 f(x女≥0（≤0） (9) 性质6：若函数f(eRa,则/(ea,且 心fs/海 (10) 证：分别记函数f四)与（在区间上的振幅为a()与@（川），由于 a00-/(x-/(xs.x)-fxW=a.) 于是 0s20.a≤2a)a0 (d(a)-→0) 即Ea/A=0 所以Y(x∈Ra,。 又注意到，对任意函数儿冈，总有 -/(x≤f(x)≤(x 再根据性质5，有 -f(xds[f(x)≤f(x)d 可见式(6)成立。 创1、估计积分
《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 ( ) b a f x dx ( ) b a g x dx （7） 由定积分的定义 1.1 很容易看出性质 5 的正确性。 推论 2：若函数 f x( ) R a b , ，且 m f x M ( ) ， x a b , ，则 ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a − − （8） 推论 3：若函数 f x( ) R a b , ，且 f x( ) 0 0 ( )， x a b , ，则 ( ) b a f x dx 0 0 ( ) （9） 性质 6：若函数 f x( ) R a b , ，则 f x( ) R a b , ，且 ( ) ( ) b b a a f x dx f x dx （10） 证： 分别记函数 f x( ) 与 f x( ) 在区间上的振幅为 k ( f ) 与 k ( f ) ，由于 k ( f ) = , , 1 sup k k x x x x − f x f x ( ) − ( ) , , 1 sup k k x x x x − f x f x ( ) − = ( ) k ( f ) 于是 ( ) 1 0 n k k k f x = ( ) 1 n k k k f x = →0 (d ( →) 0) 即 ( ) 0 lim d → ( ) 1 0 n k k k f x = = ，所以 f x( ) R a b , 。 又注意到，对任意函数 f x( ) ，总有 − f x f x f x ( ) ( ) ( ) 再根据性质 5，有 ( ) ( ) ( ) b b b a a a − f x dx f x dx f x dx 可见式（6）成立。 例 1、估计积分 2 1 2 0 x e dx −