海南大学：《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第九章 定积分 9.5 微积分学基本定理、定积分的计算（续）

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 §5微积分学基本定理定积分的计算（续） 教学目标：掌握微积分学基本定理 教学内容：变上限的定积分：变下限的定积分：微积分学基本定理：积分第二中值定理，换元 积分法；分部积分法：泰勒公式的积分型余项. ()基本要求：掌握变限的定积分的概念：掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积 分法. (2)较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项. 教学建议： (①)微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与 结论. (2)积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点.对较好学生要求他们了解这 些内容. 教学过程： 一、变限积分与原函数的存在性 设fx)在[a,b]上可积，则对x∈[a,b],f(x)在[a,x)上也可积，于是，由 x)=∫f0d,x∈a, 定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。 类似地，可定义变下限的定积分： Ψ(x)=广f)dh,x∈[a,b] (x)和Ψ(x)统称为变限积分。 说明：由于广f)d=-f)d,因此，只要讨论变上限积分即可。 定理9-9若f(x)在[a,b]上可积，则(x)=∫fu)d在[a,b]上连续。 证明：利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 定理9l0(原函数存在定理)若函数fx)在[a,b)上连续，则p(x)=广f)d在[a,b]上 处处可导，且o到=孟f0h=.xea创

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 1 §5 微积分学基本定理 定积分的计算（续） 教学目标：掌握微积分学基本定理． 教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元 积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项． (1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积 分法． (2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项． 教学建议： (1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与 结论． (2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这 些内容． 教学过程： 一、变限积分与原函数的存在性 设 f (x) 在 [a,b] 上可积，则对 x [a,b]， f (x) 在 [a, x] 上也可积，于是，由   = x a (x) f (t)dt ， x [a,b] 定义了一个以积分上限 x 为自变量的函数，称为变上限的定积分。 类似地，可定义变下限的定积分：   = b x (x) f (t)dt ， x [a,b] (x) 和 (x) 统称为变限积分。 说明：由于   = − x b b x f (t)dt f (t)dt ，因此，只要讨论变上限积分即可。 定理 9-9 若 f (x) 在 [a,b] 上可积，则   = x a (x) f (t)dt 在 [a,b] 上连续。 证明： 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。 定理 9-10（原函数存在定理） 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，则   = x a (x) f (t)dt 在 [a,b] 上 处处可导，且 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a  = =  ， x [a,b]

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。 说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论， 并以积分的形式给出了∫(x)的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用 它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。 Abe1变换a,g,1≤1≤m,令8，-李月，p,2.m,岛=0 则B=B-B, 含aA-a国-)-8e-雪月 -=2(a,-a)B+a.B。-aB =∑(e-anB+a,B. 它实际上是分部积分公式 x)d(x)=ux)r(x)'北-∫r(x)dh(x) 给定分割△：令x)=a,B=x)-x),B=x)之后的一种离散化形式。 定理9.11（积分第二中值定理）设g)eCLa,b】. (1)f)在a,单调下降，)之0，a≤x≤b,则5∈a,使得 f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx (2)fw)在[a,单调上升，f≥0，a≤x≤b,则5∈[a],使得 f(x)g(x)dx=f(b)Jg(x)dx (3)f)在a,单调，则5e[a,b,使得 ∫广f()g()=afg(x)达+fbgx) 证：①令6-80heCa,记m=盟6u.M-警6，给 a创-个分割4a=<<元=b,记，国，盟国，f在a 单调下降，所以可积，因而 2

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 2 证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。 说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论， 并以积分的形式给出了 f (x) 的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用 它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。 Abel 变换： { }  i ，{ }  i ，1 i  m ，令 = = p i Bp i 1  ， p = 1, 2,  , m， B0 = 0， 则  i = Bi − Bi−1， m m m i i i i m m m i i i i m i i i m i i i m i i i i m i i i B B B B B B B B              = − + = − + − = − = −       − = + − = + − = + = = − = 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 它实际上是分部积分公式   = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 给定分割  ：令 i i u(x ) = ， ( ) ( ) i i 1 i = v x − v x  + ， ( ) i i B = v x 之后的一种离散化形式。 定理 9.11（积分第二中值定理） 设 g(x) C[a,b]。 （1） f (x) 在 [a,b] 单调下降， f (x)  0，a  x  b ，则 [ , ]  1  a b ,使得   = 1 ( ) ( ) ( ) ( )  a b a f x g x dx f a g x dx 。 （2） f (x) 在 [a,b] 单调上升， f (x)  0，a  x  b ，则 [ , ]  2  a b ，使得   = b b a f x g x dx f b g x dx 2 ( ) ( ) ( ) ( )  。 （3） f (x) 在 [a,b] 单调，则  [a,b] ，使得    = + b a b a f x g x dx f a g x dx f b g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。 证：（1） 令 ( ) ( ) [ , ] 1 G x g t dt C a b x a =   ，记 m min G(x) axb = ， M max G(x) axb = ，给 [a,b] 一个分割  : a = x0  x1  xn = b ，记 inf ( ) 1 m f x k k x x x k −   = ， sup ( ) 1 M f x k k x x x k −   = ，f (x) 在 [a,b] 单调下降，所以可积，因而

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 2-fWes≤glet空M-mA→0 当元→0时。 1=广gds=-2fgrd =e2.IG,)-61 =2/-f.G)+f6Gb mfa)≤I=[fxg(x)dk≤Mf(a) 若f(a)=0,则f()三0,5可取任意值。 1 若o>0,m7a/ga达5M,Geqa1,5ea,使得 oG)=n.即gtw=foge恤 (2)类似可证。 (3)不妨设f)单调上升，令F()=f)-f(),单调上升，Fw)≥0，由(2)5∈[a, 使得 Fxgx达=F(b(ds=[/b)-fagx达 f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx+f(b).g(x)dx-f(a).g(x)dx =f(a)[g(x)dx+f(b)[g(x)dx 例1、f()在-π，单调下降，求证 b()sin( 3

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 3 ( ) ( ) ( ) sup ( ) ( ) 0 1 1 1 1  −   −  → =   = − − n k k k k a x b n k x x k f x f x g x dx g x M m x k k 当  →0 时。   = − → − = = n k x x k b a k k I f x g x dx f x g x dx 1 1 0 1 ( ) ( ) lim ( ) ( )  = − − → = − n k k k k f x G x G x 1 1 1 0 lim ( )[ ( ) ( )]  lim [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 0 f x f x G x f b G b n k =  k − k k + = − → mf (a) I f (x)g(x)dx Mf (a) b a  =   。 若 f (a) = 0 ，则 f (x)  0， 可取任意值。 若 f (a)  0 ， f x g x dx M f a m b a    ( ) ( ) ( ) 1 ，G(x) C[a,b]， [ , ]  1  a b ，使得  = b a f x g x dx f a G ( ) ( ) ( ) 1 ( )  1 ，即   = 1 ( ) ( ) ( ) ( )  a b a f x g x dx f a g x dx 。 （2） 类似可证。 （3） 不妨设 f (x) 单调上升，令 F(x) = f (x) − f (a) ，单调上升， F(x)  0 ，由（2）  [a,b]， 使得    = = − b b b a F x g x dx F b g x dx f b f a g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) 。     = + − b b b a b a f x g x dx f a g x dx f b g x dx f a g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   = + b a f a g x dx f b g x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) 。 例 1、 f (x) 在 [−, ] 单调下降，求证 ( )sin 2 0 1 2 =  −    b f x nx dx n ， ( )sin (2 1) 0 1 2 1 = +  − +    b f x n x dx n 。 证：

《数学分析》教案 第九章定积分 海布大学数学系 么-[csm2w杰+ejmw个 -x)2+a2- 2n 2n n=[-ajsn2n++/en(n+内 =[-)12+-a-2a+5- 2n+1 2n+1 (n+1-cos(2n+()-()0. 1 二、定积分的换元积分法和分部积分法 定理9-l2（定积分的换元积分法)若函数f(x)在[a,b)上连续，x)在[a,P]上连续可微 且满足 p(a)=a,(B)=b,aso(r)sb,te[a,B], 则有定积分的换元积分公式：∫广fx)=∫广f(p)p')dt=∫fou)d0. 证：由假设f)eCa),f因必有原函数，不妨设F()局)的一个原函数，即 F(x)=∫()，x∈[a。根据牛顿一莱布尼兹公式，有 Jf(x)dx=F(b)-F(a) 另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有 {F[p(I)]=F[p(B)]-F[p(a)]=F(b)-F(a) 由以上两式知 jr(x)d-Jfo()]o()a 注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。 例2、计算[v1-x2。 解题要领：令x=snt或x=cos1即可。 例3、计算[2sn1cos21d

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 4 [1 cos 2 ][ ( ) ( )] 0， 2 1 2 cos 2 1 ( ) 2 1 cos 2 ( ) 1 ( ) sin 2 ( ) sin 2 1 2 = − − −        − + − = −     = − + −                  n f f n n n f n n f b f nx dx f nx dx n [ 1 cos(2 1) ][ ( ) ( )] 0. (2 1) 1 2 1 cos(2 1) 1 ( ) 2 1 1 cos(2 1) ( ) 1 ( ) sin (2 1) ( ) sin (2 1) 1 2 1 − − + − −  + =       + − + − − + − − + = −     = − + + + + −                  n f f n n n f n n f b f n x dx f n x dx n 二 、 定积分的换元积分法和分部积分法 定理 9-12 （定积分的换元积分法）若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续， (x) 在 [,] 上连续可微， 且满足 () = a ，() = b，a  (t)  b ，t [,  ]， 则有定积分的换元积分公式：    =  =     f (x)dx f ((t)) (t)dt f ((t))d(t) b a 。 证：由假设 f x C a b ( )  ,  ， f x( ) 必有原函数，不妨设 F x f x ( )是 ( ) 的一个原函数，即 F x f x x a b ( ) =  ( ), ,   。根据牛顿－莱布尼兹公式，有 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = −  另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有 F t F F F b F a      ( )  ( ) ( ) ( ) ( )        = − = −       由以上两式知 ( ) ( ) ( ) b a f x dx f t t dt   =         注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。 例 2、计算 x dx  − 1 0 2 1 。 解题要领： 令 x = sin t 或 x = cost 即可。 例 3、计算  2 0 2 sin cos  t tdt

《数学分析》教案 第九章定积分 海南大学数学系 解题要领：令x=cos1,逆向应用换元积分公式即可。 例4计第-。 解圈要领：先令=m1,再令u=子-1即可。 定理9-13（定积分的分部积分法）若(x)、(x)为a,b)上的连续可微函数，则有定 积分的分部积分公式： (xr'xd=xn(ex。-广uxn达， 或 h)=x(s。-Crxd(). 证：由于[(r(=)()+r国及牛顿-菜布尼签公式，有 f)-v(- 从而，根据定积分的线性性质，有 工aye=6ero-广re6a 例5、 1=∫x21-x sn'rcos'id ( s(-04 意 从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别： 1)不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时 前者行不通而后者却可以进行： 2)不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。 例6、 1.fx)eC-a,a偶函数，则 ∫fx=fxd+x)d

《数学分析》教案 第九章 定积分 海南大学数学系 5 解题要领：令 x = cost ，逆向应用换元积分公式即可。 例 4、计算 dx x x J  + + = 1 0 2 1 ln(1 ) 。 解题要领：先令 x = tan t ，再令 u = − t 4  即可。 定理 9-13 （定积分的分部积分法） 若 u(x) 、v(x) 为 [a,b] 上的连续可微函数，则有定 积分的分部积分公式：    = −  b a b a b a u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx ， 或   = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 。 证：由于 u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    = +     及牛顿-莱布尼兹公式，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a b u x v x v x u x dx u x v x a     + =    从而，根据定积分的线性性质，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a b u x v x dx u x v x u x v x dx a   = −   例 5、  = − 1 0 2 2 I x 1 x dx t t dt  = 2 0 2 2 sin cos  ) 2 ( sin , 0  x = t  t  t dt  = 2 0 2 sin 2 4 1  t dt  = − 2 0 (1 cos 4 ) 8 1  16 ) 4 sin 4 ( 8 1 2 0   = − = t x 。 从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别： 1）不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时 前者行不通而后者却可以进行； 2）不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。 例 6、 1. f (x) C[−a,a] 偶函数，则 −  − = + 0 0 ( ) ( ) ( ) a a a a f x dx f x dx f x dx