Ch7-46 §7.2点估计的评价标准 对于同一个未知参数不同的方法得到 的估计量可能不同于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? (1)无偏性 常用 标(2)有效性 (3)一致性
Ch7-46 §7.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 一致性 (2) 有效性
Ch7-47 ●无偏性 定义若E()=0 则称O是0的无偏估计量 定义的合理性 我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等,但可以要求这些估 计值的期望与真值相等
Ch7-47 若 E( ˆ ) = 则称 ˆ 是 的无偏估计量. 无偏性 定义 我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等. 定义的合理性
Ch7-48 例1设总体X的k阶矩4=E(X)存在 (X1,X2…,Xn)是总体Y的样本, 证明:不论ⅹ服从什么分布(但期望存在), 则A k X是A的无偏估计量 证由于E(X)=Aki=1,2…,n因而 E(4)=E(∑X)=∑E(x) 1i=1 h:1k=1
Ch7-48 ( , , , ) X1 X2 Xn 是总体X 的样本, 证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 是 k 的无偏估计量. 证 = = = = n i k i n i k k i E X n X n E A E 1 1 ( ) 1 ) 1 ( ) ( 例1 设总体X 的 k 阶矩 ( ) k k = E X 存在 由于 E(Xi k ) = k i = 1,2, , n 因而 k k n n = = 1 = = n i k k Xi n A 1 1 则
Ch7-49 特别地 样本均值ⅹ是总体期望F(X)的 无偏估计量 样本二阶原点矩4=∑是总体 二阶原点矩p2=E(X2)的无偏 估计量
Ch7-49 特别地 样本二阶原点矩 = = n i Xi n A 1 2 2 1 是总体 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量 二阶原点矩 2 = E(X 2 ) 的无偏 估计量
Ch7-50 例2设总体ⅹ的期望与方差存在,X的 样本为(X,X2…,X)(n>1).证明 (1)S2=∑(x-x不是D(X)的无偏估量 (2) yn ∑(X-是D(X)的无偏估计量. 证前已证∑(X-X)=∑x2-x2 1 E(X1)=E(X)=4,D(X)=D(x)=a2 E(X)=B(X)=,m
Ch7-50 例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 ( , , , ) 样本为 X1 X2 Xn (n > 1) . (1) 不是 D( X )的无偏估量; = = − n i n Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 (2) 是 D( X ) 的无偏估计量. = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 证 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 X X n X X n n i i n i i − = − = = 前已证 证明 2 E(Xi ) = E(X ) = , D(Xi ) = D(X ) = n E X E X D X 2 ( ) ( ) , ( ) = = =