《线性代数》第二章 矩阵

第二章矩阵 要求 1)理解矩阵的概念。掌握一些特殊矩阵及其性质,如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角 矩阵、对称矩阵等 2)掌握矩阵的基本运算及其运算规则,如线性运算、乘法运算、矩阵行列式运算等: 3)理解逆矩阵概念,掌握逆矩阵性质及矩阵可逆的充分必要条件,了解伴随矩阵概念 4)掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,掌握用初等变换求逆 矩阵的方法 5)掌握矩阵的分块运算 21矩阵 知识点:矩阵的定义,一些特殊矩阵 定义1(矩阵)由m×n个实数an排成的一个m行n列的矩形数表 称之为m×n矩阵,位置(i,J)上的元素,一般用an表示(强调两个足标的意义) 矩阵可简记为 或A={an}或A={an}mn 例1含有n个未知数x1,x2,…,xn、m个方程的线性方程组 ax,+a,,+.+ax,=b a2x+a2x2+…+a2nxn=b2 把an和b按原顺序可以组成一个m×(m+1)矩阵 amI am2 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述:反之,一个矩阵也完全刻划了一个方程组

19 第二章 矩阵 要求： 1） 理解矩阵的概念。掌握一些特殊矩阵及其性质，如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角 矩阵、对称矩阵等； 2）掌握矩阵的基本运算及其运算规则，如线性运算、乘法运算、矩阵行列式运算等； 3）理解逆矩阵概念，掌握逆矩阵性质及矩阵可逆的充分必要条件，了解伴随矩阵概念； 4）掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆 矩阵的方法。 5）掌握矩阵的分块运算。 2.1 矩阵 知识点：矩阵的定义，一些特殊矩阵 定义 1（矩阵） 由 m n 个实数 ij a 排成的一个 m 行 n 列的矩形数表               m m mn n n a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 ， 称之为 m n 矩阵，位置（ i , j ）上的元素，一般用 ij a 表示（强调两个足标的意义）。 矩阵可简记为 Amn 或 { } A = aij 或 A = aij mn { } . 例 1 含有 n 个未知数 n x , x , , x 1 2  、m 个方程的线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b       1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 把 ij a 和 i b 按原顺序可以组成一个 m  (n +1) 矩阵：               m m mn m n n a a a b a a a b a a a b         1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 。 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方程组

2-123 如已知某方程组对应于下列矩阵12-30。写出该方程组, 方矩阵若m=n,称A为n阶(方)矩阵,也可记作An(强调矩阵的(主)对角线,) 而a1,a2,…,an称之为对角元素;(反主对角线)。 当m=n=1时,即A=(a1),此时矩阵退化为一个数a1 同型矩阵具有相同行数和相同列数的矩阵,称之为同型矩阵。 矩阵相等若同型矩阵A={an}bmm和B={b}mxn在对应位置上的元素都相等,即 J 零矩阵所有元素都为零的矩阵,称之为零矩阵。一般记作O;或Omn 注意,不同型的零矩阵是不相等的 三角矩阵设A={an}是n阶矩阵 1)若A的元素满足an=0,Vi>j,称A是上三角矩阵; 2)若A的元素满足 a.=0,Vi< 称A是下三角矩阵; au a1 0 和A=21a2 0 A 对角矩阵若元素满足an=0,Vi≠j:其形状是 0 A 00 记作A=diag{a1,a2,…,am}=dig{an} 数量矩阵:对角元素为常数的对角矩阵,记作K,即K=dag(k)

19 如 已知某方程组对应于下列矩阵           − − 1 3 1 1 1 2 3 0 2 1 2 3 。写出该方程组， 方矩阵 若 m = n ，称 A 为 n 阶（方）矩阵，也可记作 An . （强调矩阵的（主）对角线，） 而 a a ann , , , 11 22  称之为对角元素；（反主对角线）。 当 m = n =1 时，即 ( ) A = a11 ， 此时矩阵退化为一个数 11 a . 同型矩阵 具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。 矩阵相等 若同型矩阵 A = aij mn { } 和 B = bij mn { } 在对应位置上的元素都相等，即 a b , i 1, , m; j 1, , n, ij = ij =  =  零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作 O；或 Omn . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。 三角矩阵 设 { } A = aij 是 n 阶矩阵。 1）若 A 的元素满足 a i j ij = 0,   ，称 A 是上三角矩阵； 2）若 A 的元素满足 a i j ij = 0,   称 A 是下三角矩阵；               = nn n n a a a a a a A        0 0 0 22 2 11 12 1 和               = an an ann a a a A        1 2 21 22 11 0 0 0 。 对角矩阵 若元素满足 a i j ij = 0,   ；其形状是               = ann a a A        0 0 0 0 0 0 22 11 ， 记作 { , , } { } A = diag a11 a22,  ann = diag aii . 数量矩阵：对角元素为常数的对角矩阵，记作 K， 即 K = diag (k)

单位矩阵对角元素为1的对角矩阵,记作Ⅰ或Ⅰ(n阶),即 零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所起的作用 22矩阵的基本运算 知识点:矩阵的加(减)法、数乘、乘法、转置和矩阵的行列式:伴随矩阵 加(减)法 定义2(矩阵加法)设A={an}和B={b}是m×n的矩阵,A与B的加法(或称 和),记作A+B,定义为一个m×n的矩阵 a+b a2+b C=ic,)=A+B=421+b21 a,, + amI+bm am,+bm2 +b 例2设 B 02 计算A+B:若已知C=A+B,求出a,b,C,d 负矩阵设A={an}nx,称矩阵-A={-an}为矩阵A的负矩阵。 a,1-b b 矩阵的减法:A-B=A+(-B)= D21 a2n- l m2 72

19 单位矩阵 对角元素为 1 的对角矩阵，记作 I 或 n I （ n 阶），即               = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        I 。 零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于 0 和 1 在数的运算中所起的作用。 2.2 矩阵的基本运算 知识点：矩阵的加（减）法、数乘、乘法、转置和矩阵的行列式；伴随矩阵。 一、 加（减）法 定义 2 （矩阵加法）设 { } A = aij 和 { } B = bij 是 m n 的矩阵，A 与 B 的加法（或称 和），记作 A+B，定义为一个 m n 的矩阵 C = {cij} = A + B               + + + + + + + + + = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 . 例 2 设         − = 0 2 5 1 A ,        − = 0 4 2 1 B ,         = b d a c C ， 计算 A + B ；若已知 C = A+ B， 求出 a,b,c,d . 负矩阵 设 A = aij mn { } ，称矩阵 { } − A = −aij 为矩阵 A 的负矩阵。 矩阵的减法: A − B = A + (−B)               − − − − − − − − − = m m m m mn mn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b        1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1

由定义,容易验证矩阵的加法满足下列运算法则(其中A,B,C,O为同型矩阵)。 (1)交换律A+B=B+A (2)结合律(A+B)+C=A+(B+C (3) A+0=A (4) A-A=0 二、数乘 定义3(矩阵数乘)数λ与矩阵A={an}mxn的乘积(称之为数乘),记作AA或A,定 义为一个m×n的矩阵 C=ic,)=hA=A2- 2a, ha22 由定义,数乘运算满足下列运算法则(设A,B,O是同型矩阵,A,是数) (1)数对矩阵的分配律A(A+B)=AA+AB (2)矩阵对数的分配律(+4)A=AA+A (3)结合律 (4)A=A(A) (4) 0·A=O 例3 75-4 3-21 且A+2X=B,求矩阵X

19 由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中 A, B, C, O 为同型矩阵）。 （1） 交换律 A + B = B + A （2） 结合律 (A + B) + C = A + (B + C) （3） A+ O = A （4） A− A=O 二、 数乘 定义 3 （矩阵数乘） 数  与矩阵 A = aij mn { } 的乘积（称之为数乘），记作 A 或 A ，定 义为一个 m n 的矩阵 C = {cij} = A = A               = m m mn n n a a a a a a a a a                 1 2 21 22 2 11 12 1 。 由定义，数乘运算满足下列运算法则（设 A, B, O 是同型矩阵， ,  是数）： （1） 数对矩阵的分配律 (A + B) = A + B （2） 矩阵对数的分配律 ( + )A = A + A （3） 结合律 ()A = (A) （4） 0 A=O 例 3 设           − − = 5 4 3 1 5 7 3 1 2 A ，           − − = 3 2 1 5 1 9 7 5 4 B 且 A+ 2X = B, 求矩阵 X

乘法 定义4(矩阵乘法)设A={an}是一个mx矩阵,B={b}是一个S×n矩阵,A与B 的乘法,记作AB,定义为一个m×n的矩阵C=AB={cn},其中 6u+a2b2 由定义,不难看出(强调): (1)只有在左矩阵A的列数和右矩阵B的行数相等时,才能定义乘法AB (2)矩阵C=AB的行数是A的行数,列数则是B的列数; (3)矩阵C=AB在(i,j)位置上的元素等于A的第i行元素与B的第j列对应元素 的乘积之和 410 例4设矩阵 2102 201 134 求AB和BA 例5任何一个矩阵A与单位矩阵I的乘积仍然等于该矩阵A(假如乘积有意义),即 AI=IA=A。 例6设A是1×n的矩阵(行向量),B是n×1的矩阵(列向量),即 A a), B 求AB和BA

19 三、 乘法 定义 4 （矩阵乘法） 设 { } A = aij 是一个 ms 矩阵， { } B = bij 是一个 s  n 矩阵，A 与 B 的乘法，记作 AB，定义为一个 m n 的矩阵 { }ij C = AB = c ，其中 = = + + + = s k i j ai b j ai b j ai sbsj ai kbkj c 1 1 1 2 2  (i =1, 2,  , m; j =1, 2,  , n ) . 由定义，不难看出（强调）： （1） 只有在左矩阵 A 的列数和右矩阵 B 的行数相等时，才能定义乘法 AB； （2） 矩阵 C=AB 的行数是 A 的行数，列数则是 B 的列数； （3） 矩阵 C=AB 在 (i , j ) 位置上的元素等于 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素 的乘积之和。 例 4 设矩阵         − = 2 1 0 2 1 0 3 1 A ，               − = 1 3 4 2 0 1 1 1 3 4 1 0 B . 求 AB 和 BA . 例 5 任何一个矩阵 A 与单位矩阵 I 的乘积仍然等于该矩阵 A（假如乘积有意义），即 A I = I A = A。 如         =                =                1 2 2 4 1 2 2 4 0 1 1 0 0 1 1 0 1 2 2 4 例 6 设 A 是 1n 的矩阵（行向量）， B 是 n1 的矩阵（列向量），即 ( ) A = a1 a2  an ，               = n b b b B  2 1 ， 求 AB 和 BA