第一章行列式 要求 1)理解行列式的定义与性质:掌握三阶行列式的对角线计算方法 2)利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单n阶行列式 3)掌握克莱姆法则。 1.1排列与逆序 知识点:排列;逆序;对换 排列 定义1(排列)n个(不同)自然数1,2…n组成的一个有序数组p1p2,…Pn称作 为n级排列,其中每个自然数P1称作(第i个)元素。 如213是一个3级排列。强调“有序” 那么1,2,3可以有多少种不同的排列呢?一一列出,共有6种。 乘法原理 3个自然数共有3×2×1=3!=6种不同排列。 用Pn表示所有n级不同排列的种数。故B3=3!=6;。不难得到 Pn=n(n-1)…2.1=n! 、逆序 标准顺序n个不同自然数按从小到大自然顺序的排列,称之为(n级)排列的标准顺序。 如123是一个(3级)标准顺序的排列 定义2(逆序)在p1P2…Pn中,若有P,>P2(S<t),则称P,与P1构成该排列的 个逆序(数):一个排列中,所有逆序的总数,称作该排列的逆序数,记作((PP2…pn)。 奇排列当r(P1P2…Pn)为奇数时,称P1P2…Pn为奇排列。 偶排列当τ(P1P2…Pn)为偶数或零时,称P1P2…Pn为偶排列 例如231是偶排列:321奇排列 逆序数的计算方法:设P1P2…Pn是一个n级排列。定义该排列中某个元素P1的逆
1 第一章 行列式 要求： 1） 理解行列式的定义与性质；掌握三阶行列式的对角线计算方法； 2）利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单 n 阶行列式。 3）掌握克莱姆法则。 1.1 排列与逆序 知识点: 排列; 逆序; 对换。 一、 排列 定义 1（排列） n 个（不同）自然数 1,2, , n 组成的一个有序数组 p p pn , , , 1 2 称作 为 n 级排列，其中每个自然数 i p 称作（第 i 个）元素。 如 213 是一个 3 级排列。 强调 “有序”. 那么 1，2，3 可以有多少种不同的排列呢？一一列出，共有 6 种。 乘法原理 3 个自然数共有 3 21= 3!= 6 种不同排列。 用 Pn 表示所有 n 级不同排列的种数。故 P3 = 3!= 6 ；。不难得到： Pn = n(n −1)2 1= n! . 二、逆序 标准顺序 n 个不同自然数按从小到大自然顺序的排列，称之为（ n 级）排列的标准顺序。 如 123 是一个（3 级）标准顺序的排列。 定义 2（逆序） 在 p1 p2 pn 中，若有 p p (s t ) s t ，则称 ps 与 pt 构成该排列的一 个逆序（数）；一个排列中，所有逆序的总数，称作该排列的逆序数，记作 ( ) p1 p2 pn 。 奇排列 当 ( ) p1 p2 pn 为奇数时，称 p1 p2 pn 为奇排列。 偶排列 当 ( ) p1 p2 pn 为偶数或零时，称 p1 p2 pn 为偶排列。 例如 231 是偶排列；321 奇排列。 逆序数的计算方法： 设 p1 p2 pn 是一个 n 级排列。定义该排列中某个元素 pi 的逆
序数为:在P1P2…P-1中比P2大的个数,记为t1。于是 P1P2…P n=∑ 例1计算r(32415)和(n·(n-1)(n-2)…2·1)。 解r(32415)=4 r(n·(n-1)·(n-2)…2·1)=0+1+2+…+(n-2)+(n-1) 三、对换 定义3(对换)在某个n阶排列中,任意对换两个元素的位置(如对换P,与P,的位置), 其余元素不动,称作该排列的一个对换。可记作 B…p…p…pn-Pnp…p…p…pn 定理1对换改变排列的奇偶性 例如:r(123)=0,偶排列,123-2)→213.奇排列。 证明(1)相邻位置元素的对换。设 并设t1=S1,1+2=S2,对换之后,q,p的逆序数分别是 l+2 S2, p<q S1+1,p<q 两个元素逆序数之和在两个排列中相差1,其余没有变化,故两个排列的奇偶性不同 (2)任意位置元素的对换。设 q…bk pb1…b 该对换可以分解成 先作m+1次相邻元素的对换:a1…aC1…Cn9pb…b
2 序数为：在 p1 p2 pi−1 中比 pi 大的个数，记为 i t 。于是 ( ) p1 p2 pn = = + + + = n i n i t t t t 1 1 2 . 例 1 计算 (32415) 和 (n (n −1)(n − 2) 2 1) 。 解 (32415) = 4 。 2 ( 1) ( ( 1) ( 2) 2 1) 0 1 2 ( 2) ( 1) − − − = + + + + − + − = n n n n n n n 。 三、 对换 定义 3（对换） 在某个 n 阶排列中，任意对换两个元素的位置（如对换 ps 与 t p 的位置）， 其余元素不动，称作该排列的一个对换。可记作 p1 ps pt pn ⎯(⎯ps ,⎯pt )→ p1 pt ps pn . 定理 1 对换改变排列的奇偶性。 例如： (123) = 0 ，偶排列， 123 ⎯(1⎯,2)→ 213. 奇排列。 证明 （1）相邻位置元素的对换。设 a1 al pqb1 bm ⎯( p⎯,q)→ a1 alqpb1 bm . 并设 , , 1 1 2 2 t s t s l+ = l+ = 对换之后， q, p 的逆序数分别是 , 1, , , , 1, 1 1 2 2 2 1 + = − + = + s p q s p q t s p q s p q t l l 两个元素逆序数之和在两个排列中相差 1，其余没有变化，故两个排列的奇偶性不同。 （2）任意位置元素的对换。设 a1 al pc1 cmqb1 bk ⎯( p⎯,q)→ l m pb bk a1 a qc1 c 1 . 该对换可以分解成： 先作 m +1 次相邻元素的对换： l mqpb bk a1 a c1 c 1 ；
再作m次相邻元素的对换:a1…aqG1…Cmph…b 共2m+1次相邻位置对换,由(1),两个排列的奇偶性不同。 推论1任意n级排列PP2…Pn,都可以对换成标准顺序排列1·2…n,且对换次数的奇 偶性与排列PP2…Pn具有相同的奇偶性。 例2把32415对换成标准顺序的排列。 32415312435412345是一个偶排列 强调:不一定成立r(32415)=2,事实上,(32415)=4。 12行列式的定义 知识点:n阶行列式的定义(通过三阶行列式的三个特征引进) 2阶、3阶行列式 由22=4个数,按下列形式排成2行2列的方形 其被定义为一个数 =a, a22-a12a21 由33=9个数组成的3行3列的3阶行列式,则按下列形式定义为一个数 a21a2a2=a12a3+a22a1+a23 1242al31-412332-al12a21433 一般2阶,3阶行列式的计算可按对角线法得到。 例3(1)计算1-50的值 (2)求23x=0的根
3 再作 m 次相邻元素的对换： l m pb bk a1 a qc1 c 1 共 2m +1 次相邻位置对换，由（1），两个排列的奇偶性不同。 ■ 推论 1 任意 n 级排列 p1 p2 pn ，都可以对换成标准顺序排列 1 2n ，且对换次数的奇 偶性与排列 p1 p2 pn 具有相同的奇偶性。 例 2 把 32415 对换成标准顺序的排列。 解 32415 12435 12345 ⎯(1⎯,3)→ ⎯(3⎯,4)→ 是一个偶排列。 强调：不一定成立 (32415)= 2 ，事实上， (32415) = 4 。 1.2 行列式的定义 知识点: n 阶行列式的定义（通过三阶行列式的三个特征引进）； 一、2 阶、3 阶行列式 由 2 4 2 = 个数，按下列形式排成 2 行 2 列的方形 21 22 11 12 a a a a ， 记作 D2 其被定义为一个数： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − ， 由 3 9 3 = 个数组成的 3 行 3 列的 3 阶行列式，则按下列形式定义为一个数 D3 = 13 22 31 11 23 32 12 21 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 一般 2 阶, 3 阶行列式的计算可按对角线法得到。 例 3 （1）计算 1 2 1 1 5 0 3 0 1 − − 的值。 （2）求 0 4 9 2 3 1 1 1 2 = x x 的根
301 解(1) 50|=22 23x|=(x-2)x-3)=0 12-1 49x 三阶行列式定义的特征 (1)共有3!=6项相加,其结果是一个数 (2)每项有3个数相乘:a1na2n2a3p2,而每个数取自不同行不同列,即行足标固定为 123,列足标则是1,2,3的某个排列pP2P3 (3)每项的符号由列足标排列PP2P2的奇偶性决定,即符号是(-1)pp)。 故三阶行列式可写成 ∑( 二、n阶行列式 定义4(行列式)由n2个数组成的n行n列的n阶行列式定义如下: 其中∑表示对所有n阶排列P1P2…Pn的种数进行相加,共有P=n!项。(i,j) 位置上的元素用an表示。an称作对角元素。一般可记作Dn(或D);det(an 强调:(1)n阶行列式的定义具有类似的三项特征, (2)位置与位置上的元素区别。 特别,定义一阶行列式(即n=1)为:a1=a1
4 解 （1） 22 1 2 1 1 5 0 3 0 1 = − − （2） ( 2)( 3) 0 4 9 2 3 1 1 1 2 = x − x − = x x 三阶行列式定义的特征： （1） 共有 3！=6 项相加，其结果是一个数； （2） 每项有 3 个数相乘： 1p1 2 p2 3 p3 a a a ，而每个数取自不同行不同列，即行足标固定为 123，列足标则是 1，2，3 的某个排列 p1 p2 p3 ； （3） 每项的符号由列足标排列 p1 p2 p3 的奇偶性决定，即符号是 ( ) 1 2 3 ( 1) p p p − 。 故三阶行列式可写成 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3! ( ) 31 32 33 21 22 23 11 12 13 3 ( 1) p p p p p p a a a a a a a a a a a a D = = − 二、 n 阶行列式 定义 4（行列式） 由 2 n 个数组成的 n 行 n 列的 n 阶行列式定义如下： n n p p np n p p p n n nn n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 ! ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 = (−1) ， 其中 n! 表示对所有 n 阶排列 p1 p2 pn 的种数进行相加，共有 P n! n = 项。 （ i , j ） 位置上的元素用 ij a 表示。 ii a 称作对角元素。一般可记作 Dn （或 D ）； det( ) aij 强调： （1） n 阶行列式的定义具有类似的三项特征， （2）位置与位置上的元素区别。 特别，定义一阶行列式（即 n = 1 ）为： a11 = a11
例4在六阶行列式中,项a2431a42a524145应带那种符号。 例5利用行列式的定义证明 000 a31 32 a330-1a2233a44 证明由定义 D4=∑ 考察an的取值,只有形如a12ap2a4p,的项才可能不为零,有3!个。由于P=1已 取定,故P2,P3,P4只有在2,3,4中取值。类似考察a2n2的取值 又由于t(1234)=0,从而成立D4=a12a3a4 例4的结论可推广到一般n阶下三角行列式的计算: 0 a1422…a 类似地,上三角行列式和对角行列式的值也成立同样的结论: 000-2 例如 1×0×(-2)×3=0 00-21 0003 例6证明n阶(反对角)行列式D: 0d1 00 n(n-1) D o d 0 0:00 d.0
5 例 4 在六阶行列式中，项 a23a31a42a56a14a65 应带那种符号。 例 5 利用行列式的定义证明 11 22 33 44 41 42 43 44 31 32 33 21 22 11 4 0 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a a D = = 证明 由定义 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4! ( ) 4 ( 1) p p p p p p p p D = − a a a a 。 考察 1 p1 a 的取值，只有形如 11 2 p2 3 p3 4 p4 a a a a 的项才可能不为零，有 3！个。由于 p1 = 1 已 取定，故 2 p ， 3 p ， 4 p 只有在 2，3，4 中取值。 类似考察 2 p2 a 的取值 。。。 又由于 (1234) = 0 ，从而成立 D4 = a11a22a33a44 。 例 4 的结论可推广到一般 n 阶下三角行列式的计算： nn n n nn a a a a a a a a a 11 22 1 2 21 22 11 0 0 0 = 类似地，上三角行列式和对角行列式的值也成立同样的结论： 例如 1 0 ( 2) 3 0 0 0 0 3 0 0 2 1 0 0 0 2 1 3 0 2 = − = − − − 。 例 6 证明 n 阶（反对角）行列式 D： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 n n d d d d D − = = 2 ( 1) ( 1) − − n n d d dn 1 2