第三章n维向量 要求 1)理解向量的概念,理解向量的线性组合、线性表示的概念 2)理解向量组线性相关与线性无关的概念,了解线性相关性的一些重要结论 3)理解向量组的极大线性无关组和秩的概念:理解矩阵秩的概念。 4)了解向量组等价的概念,了解向量组的秩和矩阵秩的关系以及有关秩的一些性质 5)掌握用初等变换求向量组的极大线性相关组、秩和矩阵秩的方法。 6)了解向量空间等的概念。 3.1n维向量 知识点:向量的概念及其基本运算 定义1(向量)由n个(实)数a1,a2…,an组成的有序数组,称作n维(实)向量(用 希腊字母a,B,…来表示),记作 其中第i个数a1称为向量a的(第i个)分量。或记作a={a1}n或a={a1}, 用R表示n维实向量的全体;用C"表示n维复向量的全体 n维行向量。n维列向量。(在讨论向量概念和性质时,行向量和列向量是完全一样的)。 n维行向量即为1×n的矩阵,n维列向量是n×1矩阵。本课程采用列向量a形式 利用转置,a表示一个行向量,也有a (联系三维空间中的有向线段或点的坐标,直观理解向量的概念)
43 第三章 n 维向量 要求： 1） 理解向量的概念，理解向量的线性组合、线性表示的概念； 2）理解向量组线性相关与线性无关的概念，了解线性相关性的一些重要结论； 3）理解向量组的极大线性无关组和秩的概念；理解矩阵秩的概念。 4）了解向量组等价的概念，了解向量组的秩和矩阵秩的关系以及有关秩的一些性质。 5）掌握用初等变换求向量组的极大线性相关组、秩和矩阵秩的方法。 6) 了解向量空间等的概念。 3.1 n 维向量 知识点：向量的概念及其基本运算 定义 1 （向量） 由 n 个（实）数 a a an , , 1 2, 组成的有序数组，称作 n 维（实）向量（用 希腊字母 , , 来表示），记作 ( , , , ) = a1 a2 an ， 其中第 i 个数 i a 称为向量 的（第 i 个）分量。或记作 ai n = { } 或 { } = ai , 用 n R 表示 n 维实向量的全体；用 n C 表示 n 维复向量的全体。 n 维行向量。n 维列向量。（在讨论向量概念和性质时，行向量和列向量是完全一样的）。 = n a a a 2 1 ， n 维行向量即为 1 n 的矩阵，n 维列向量是 n1 矩阵。本课程采用列向量 形式 利用转置， T 表示一个行向量，也有 ( ) T n n a a a a a a 1 2 2 1 = = 。 （ 联系三维空间中的有向线段或点的坐标，直观理解向量的概念）
向量是矩阵的特殊形式,因此向量也有下列概念和性质。 定义2 ={a;}n,β={b}n是二个n维向量 1)向量相等若a1=b,i=1,…,n,称向量a和向量尸相等 2)零向量所有分量都为零的向量。一般记作;或bn注意,B2≠ 3)负向量称向量-a={-a1}为向量a的负向量。 4)向量加法称向量y=a+B={(1+b}n为向量a和向量B的和, 向量减法向量a和向量B的减法)定义为a和(-B)的加法:y=a-B=a+(-B) 5)数乘向量设k是一个数。称向量ka=ak={ka}n为向量a和数k的数乘向量 把矩阵的加法、数乘等运算法则移到向量上,同样成立: a +a (2)(a+B)+y=a+(B+y) (3)a+b=a a-a=e (4) k(a+B)=ka+kB: (k+/a=ka +la (5) (kD)a=k(la) 6 a;(-1)a (7)若ka=,则或k=0或a=。 (8)设Ⅰ是n阶单位矩阵,则Ia=a。 例1设a1=(2-1),a2=(2-31)y,a3=(41-1),计算2a1+a2并判 别a3与a1,a2的关系 解1+a2=(41-1y。且a3=2a1+a2.或等价地2a1+a2+(-1)a=0
44 向量是矩阵的特殊形式，因此向量也有下列概念和性质。 定义 2 设 ai n = { } ， bi n = { } 是二个 n 维向量。 1）向量相等 若 ai = bi , i =1, , n， 称向量 和向量 相等。 2）零向量 所有分量都为零的向量。一般记作 ；或 n . 注意， 2 3 . 3）负向量 称向量 ai n − ={− } 为向量 的负向量。 4）向量加法 称向量 ai bi n = + = { + } 为向量 和向量 的和， 向量减法 向量 和向量 的减法）定义为 和 (− ) 的加法： = − = + (−) 。 5）数乘向量 设 k 是一个数。称向量 i n k =k = {ka } 为向量 和数 k 的数乘向量。 把矩阵的加法、数乘等运算法则移到向量上，同样成立： （1） + = + . （2） ( + ) + = + ( + ). （3） + = ； − = . （4） k( + ) = k + k ； (k + l) = k + l . （5） (kl) = k(l). （6） 1 = ； (−1) = − ； 0 = ； k = . （7） 若 k = , 则或 k = 0 或 = 。 （8） 设 I 是 n 阶单位矩阵，则 I = 。 例 1 设 (1 2 1) , (2 3 1) , (4 1 1) , 1 2 3 T T T = − = − = − 计算 21 +2 ；并判 别 3 与 1 2 , 的关系。 解 ( ) T 21 +2 = 4 1 −1 。且 3 = 21 + 2 . 或等价地 21 +2 + (−1)3 =
解释n维向量的乘法问题(以上例说明): aB--无意义; aB--个数(即1×1的矩阵) aB-nxn的矩阵。 3.2向量组的线性相关性 知识点:线性组合,线性表示,向量组的等价,线性相关与线性无关 定义3(线性组合与线性表示)设有向量组():a1a2…,an (1)称向量 la1+l2a2+…+lnan 是向量组(D)的一个线性组合,其中l,l2,…,l是一组数。 (2)若向量B是向量组()的一个线性组合:即存在一组数l,l2,…,ln,使得 B=la,+l,a 则称向量B可以由向量组()线性表示。 如例1中,成立a3=2a1+a2 例2证明任意一个n维向量都可以由向量组I 0 线性表示。向量组I:s,E2,…En称作n维坐标向量组。(联系三维空间的坐标向量) 定义4(向量组等价)若向量组(D):a1,a2,…am中的每一个向量a均可由向量组(I 1,B2…B线性表示,则称组()可由组(Ⅱ)线性表示。若组(D)与组(ID)可相互线 性表示,则称组(I)与(II)等价
45 解释 n 维向量的乘法问题（以上例说明）： ------ 无意义； T ---- 一个数（即 11 的矩阵） T ---- nn 的矩阵。 3.2 向量组的线性相关性 知识点：线性组合，线性表示，向量组的等价，线性相关与线性无关 定义 3（线性组合与线性表示） 设有向量组（I）： m , , , 1 2 . （1） 称向量 m m l 11 + l 22 ++ l 是向量组（I）的一个线性组合，其中 m l , l , , l 1 2 是一组数。 （2）若向量 是向量组（I）的一个线性组合：即存在一组数 m l , l , , l 1 2 ，使得 m m = l 11 + l 2 2 ++ l 则称向量 可以由向量组（I）线性表示。 如例 1 中，成立 3 = 21 + 2 例 2 证明任意一个 n 维向量都可以由向量组 I: = 0 0 1 1 , = 0 1 0 2 , = 1 0 0 , n 线性表示。向量组 I： 1 ， 2 ， n , 称作 n 维坐标向量组。（联系三维空间的坐标向量） 定义 4 （向量组等价） 若向量组（I）： m , , , 1 2 中的每一个向量 i 均可由向量组（II） t , , , 1 2 线性表示，则称组（I）可由组（II）线性表示。若组（I）与组（II）可相互线 性表示，则称组（I）与（II）等价
等价具有以下性质: 1)自身性:向量组与其本身等价 2)对称性:组(Ⅰ)与(I〕)等价,组(I)也与组(I)等价 3)传递性:若向量组(I)与(I)等价,(Ⅱ)与(Ⅲ)等价,则(1)与(I)等价。 例3证明向量组(1):a(2人2=,与坐标向量组I等价。 解由例2,向量组(I)可以由坐标向量组I线性表示。反之,也有 0)-02( =(-1)ax1+2a (-),|=a1+(-1)a 例4设向量组a1=(2-1),a2=(230),a3=(-103) a4=(-2-24),判别a4是否可由a12a2a3线性表示:若可以,求其表示式 解设a4=l1a1+l2a2+l2 解之得l1=-1,l2=0,l3=1,即a4=-a1+a3 定义5(线性相关)对于向量组(I)a2a2…,a,若存在不全为零的数k,k2,…,k,,使得 ka1+k2a2+…+k,a=6 则称向量组(I)线性相关;否则称向量组(I)性无关 否则的等价说法:使得a1,a2…,a线性组合为零的组合系数k1,k2,…,k,必须全为零 如例1中的向量组a1,a2,a3,成立:2a1+a2+(-1)a3=日,线性相关。 注意,(1)线性相关性与向量在向量组的排序无关,ax1,a2,a3与a2,a3,a1具有相同 的线性相关性。(2)解释n=3,三个向量线性相关的几何意义,是这三个向量共面 例5判断向量组a1=(2-1),a2=(230),a3=(-103)的线性相关性
46 等价具有以下性质： 1） 自身性：向量组与其本身等价； 2） 对称性：组（I）与（II）等价，组（II）也与组（I）等价； 3） 传递性：若向量组（I）与（II）等价，（II）与（III）等价，则（I）与（III）等价。 例 3 证明向量组（I）： = = 1 1 , 2 1 1 2 与坐标向量组 I 等价。 解 由例 2，向量组（I）可以由坐标向量组 I 线性表示。反之, 也有 ( 1) 2 , 1 1 2 2 1 ( 1) 0 1 1 1 2 = − + + = − = ( 1) , 1 1 ( 1) 2 1 1 0 2 1 2 = + − + − = = 例 4 设向量组 ( ) T 1 = 1 2 −1 ， ( ) T 2 = 2 3 0 ， ( ) T 3 = −1 0 3 ， ( ) T 4 = − 2 − 2 4 , 判别 4 是否可由 1 2 3 , , 线性表示；若可以，求其表示式。 解 设 4 11 2 2 33 = l + l + l ， 解之得 l 1 = −1,l 2 = 0,l 3 =1 ，即 4 = −1 + 3。 定义 5 (线性相关) 对于向量组（I） s , , , 1 2 ，若存在不全为零的数 s k , k , , k 1 2 ，使得 k11 + k22 ++ kss = ， 则称向量组（I）线性相关；否则称向量组（I）性无关。 否则的等价说法：使得 s , , , 1 2 线性组合为零的组合系数 s k , k , , k 1 2 必须全为零。 如例 1 中的向量组 1 2 3 , , , 成立： 21 + 2 + (−1) 3 = ,，线性相关。 注意，（1）线性相关性与向量在向量组的排序无关， 1 2 3 , , 与 2 3 1 , , 具有相同 的线性相关性。（2） 解释 n = 3 ，三个向量线性相关的几何意义，是这三个向量共面。 例 5 判断向量组 ( ) T 1 = 1 2 −1 ， ( ) T 2 = 2 3 0 ， ( ) T 3 = −1 0 3 的线性相关性
解令ka1+k2a2+k1a3=0,解之:k1=k2=k3=0,线性无关 三维空间中的三个坐标向量7,j,k线性无关。事实上有, 例6证明坐标向量组I:E1,E2…,En线性无关。 定理1向量组(1):a1,a2…a,(S≥2)线性相关的充分必要条件是向量组(D)中至少 有一个向量可由其余S-1个向量线性表示 如例1的向量组a1,a2,a3, 该定理的一个等价说法是:向量组(I)线性无关的充分必要条件是向量组(I)中任何一个 向量都不能用(I)中其余向量线性表示。如在三维空间中,三个不共面的向量(线性无关) 中的任何一个向量都不能用其余二个向量线性表示, 例7含有零向量的向量组一定线性相关。 单个向量构成的向量组(D):a,约定:若a=b,则线性相关;若a≠b,线性无关。 例8设向量组a1a2,a3线性无关。证明向量组 B B2 B3 线性无关。 证明令kB1+k2B2+k3B3=日,由a1,a2,C3的线性无关性,解之k=k2=k3=0 向量组B13B2B3线性无关。 定理2设向量组():a1a2,…,a,线性无关,而向量组(I):a1,a2,…ax2B线性相关 则向量B可由向量组(I)线性表示;且表示式唯一
47 解 令 k11 + k22 + k33 = ，解之： k1 = k 2 = k 3 = 0 ，线性无关。 三维空间中的三个坐标向量 i ， j ， k 线性无关。事实上有， 例 6 证明坐标向量组 n I : , , , 1 2 线性无关。 定理 1 向量组（I）： s , , , 1 2 (s 2) 线性相关的充分必要条件是向量组（I）中至少 有一个向量可由其余 s −1 个向量线性表示。 如例 1 的向量组 1 2 3 , , ， 该定理的一个等价说法是：向量组（I）线性无关的充分必要条件是向量组（I）中任何一个 向量都不能用（I）中其余向量线性表示。如在三维空间中，三个不共面的向量（线性无关） 中的任何一个向量都不能用其余二个向量线性表示， 例 7 含有零向量的向量组一定线性相关。 单个向量构成的向量组（I）： ，约定：若 = ，则线性相关；若 ，线性无关。 例 8 设向量组 1 2 3 , , 线性无关。证明向量组 1 1 2 2 2 3 3 3 1 = + , = + , = + 线性无关。 证明 令 k11 + k22 + k33 = ， 由 1 2 3 , , 的线性无关性，解之 k1 = k2 = k3 = 0 , 向量组 1 2 3 , , 线性无关。 定理 2 设向量组（I）： s , , , 1 2 线性无关，而向量组（II）： 1 ,2 , ,s , 线性相关。 则向量 可由向量组（I）线性表示；且表示式唯一