格的等价定义 根据定理13.2,可以给出格的另一个等价定义。 定义13.3设<S,*,°是代数系统,*和是二元运算,如果*和满 足交换律,结合律和吸收律,则<s,*°构成一个格 lattice) 说明格中的幂等律可以由吸收律推出。 以后我们不再区别是偏序集定义的格, 还是代数系统定义的格,而统称为格L
格的等价定义 根据定理13.2，可以给出格的另一个等价定义。 定义13.3 设<S,*,>是代数系统，*和是二元运算，如果*和满 足交换律，结合律和吸收律，则<S,*,>构成一个格(lattice)。 说明 格中的幂等律可以由吸收律推出。 以后我们不再区别是偏序集定义的格， 还是代数系统定义的格，而统称为格L
格的性质 定理13.3设L是格,则a,b∈L有 a≤b今a∧b=aaVb=b 证明先证a≤b→a∧b=a 由a≤a和a≤b可知,a是{a,b}的下界, 故a≤a∧b。显然又有a∧b≤a 由反对称性得a∧b=a 再证ab=a→a∨b=b。 根据吸收律有b=b∨(b∧a) 由a∧b=a得b=b∨a,即a∨b=b。 最后证a∨b=b→a≤b。 由a≤a∨b得a≤aVb=b
格的性质 定理13.3 设L是格，则a,b∈L 有 a≤b a∧b＝a a∨b＝b 证明 先证 a≤b a∧b＝a 由a≤a和a≤b可知，a是{a,b}的下界， 故a≤a∧b。显然又有a∧b≤a。 由反对称性得a∧b＝a。 再证 a∧b＝a a∨b＝b。 根据吸收律有 b＝b∨(b∧a) 由a∧b＝a得 b＝b∨a, 即a∨b＝b。 最后证a∨b＝b a≤b。 由a≤a∨b得 a≤a∨b＝b
格的性质 定理11.4设L是格,Va,b,c,d∈L,若a≤b且c≤d,则 a∧c≤b∧d, a∨c≤bVd 证明a∧c≤a≤b aAc≤c≤d 因此,a∧c≤b∧d 同理可证aVc≤bVd
格的性质 定理11.4 设L是格，a,b,c,d∈L，若a≤b且c≤d，则 a∧c≤b∧d， a∨c≤b∨d 证明 a∧c≤a≤b a∧c≤c≤d 因此， a∧c≤b∧d。 同理可证 a∨c≤b∨d
例13,4 例13.4设L是格,证明a,b,c∈L有 aV(b∧c)≤(aVb)∧(a∨c) 证明由a≤a,b∧c≤b得 aV(b∧c)≤a∨b 由a≤a,b∧c≤c得 aV(b∧c)≤aVc 从而得到a∨(b∧c)≤aVb)∧(aVc) 说明在格中分配不等式成立。 般说来,格中的∨和∧运算并不是满足分配律的
例13.4 例13.4 设L是格，证明 a,b,c∈L 有 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) 证明 由 a≤a，b∧c≤b 得 a∨(b∧c)≤a∨b 由 a≤a，b∧c≤c 得 a∨(b∧c)≤a∨c 从而得到 a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) 说明 在格中分配不等式成立。 一般说来，格中的∨和∧运算并不是满足分配律的
本节小结 口偏序集构成格的条件:任意二元子集都有最大下界和最 小上界。 口格的实例:正整数的因子格,幂集格,子群格。 口格的性质:对偶原理,格中算律(交换、结合、幂等、 吸收),保序性,分配不等式。 口格作为代数系统的定义。 口格的证明方法
本节小结 ❑ 偏序集构成格的条件：任意二元子集都有最大下界和最 小上界。 ❑ 格的实例：正整数的因子格，幂集格，子群格。 ❑ 格的性质：对偶原理，格中算律（交换、结合、幂等、 吸收），保序性，分配不等式。 ❑ 格作为代数系统的定义。 ❑ 格的证明方法