定理13,1 (3)显然a≤a∨a, 又由a≤a可得aVa≤a。 根据反对称性有a∨a=a, 由对偶原理,a∧a=a得证。 (4)显然aV(a∧b)≥a (13.5) 又由a≤a,a∧b≤a可得 aV(a∧b)≤a (13.6 由式13.5和13.6可得aV(a∧b)=a, 根据对偶原理,a∧(a∨b)=a得证
定理13.1 (3)显然a≤a∨a, 又由a≤a可得 a∨a≤a。 根据反对称性有 a∨a＝a， 由对偶原理，a∧a＝a 得证。 (4)显然 a∨(a∧b)≥a (13.5) 又由 a≤a，a∧b≤a 可得 a∨(a∧b)≤a (13.6) 由式13.5和13.6可得 a∨(a∧b)＝a， 根据对偶原理，a∧(a∨b)＝a 得证
定理13,2 定理13.2设<s,*是具有两个二元运算的代数系统,若对 于*和°运算适合交换律、结合律、吸收律,则可以适当定 义S中的偏序≤,使得<S,≤>构成一个格,且a,b∈S有 a∧b=a*b,a∨b=a°b。 思路(1)证明在S中*和运算都适合幂等律。 (2)在S上定义二元关系R,并证明R为偏序关系。 (3)证明<S,≤>构成格。 说明通过规定运算及其基本性质可以给出格的定义
定理13.2 定理13.2 设<S,*,>是具有两个二元运算的代数系统，若对 于*和运算适合交换律、结合律、吸收律，则可以适当定 义S中的偏序≤，使得<S,≤>构成一个格，且a,b∈S有 a∧b＝a*b，a∨b＝ab。 思路 (1)证明在S中*和运算都适合幂等律。 (2)在S上定义二元关系R，并证明R为偏序关系。 (3)证明<S,≤>构成格。 说明 通过规定运算及其基本性质可以给出格的定义
定理13,2 (1)证明在S中*和°运算都适合幂等律。 va∈s,由吸收律得a*a=a*(a°(a*a))=a 同理有a°a=a (2)在S上定义二元关系R,Va,b∈S有<a,b>∈R台a°b=b 下面证明R在S上的偏序。 根据幂等律,Va∈S都有a°a=a,即<a,a>∈R, 所以R在S上是自反的。 ya,b∈S有 aRb且bRa冷a°b=b且b°a=a →a=b°a=a%b=b(由于a°b=b°a) 所以R在S上是反对称的
定理13.2 a∈S，由吸收律得 (1)证明在S中*和运算都适合幂等律。 a*a ＝ a*(a(a*a)) ＝ a 同理有 aa＝a。 (2)在S上定义二元关系R， a,b∈S 有 <a,b>∈R ab＝b 下面证明R在S上的偏序。 根据幂等律， a∈S都有aa＝a，即<a,a>∈R， 所以R在S上是自反的。 a,b∈S 有 aRb且bRa ab＝b且ba＝a a＝ba＝ab＝b (由于a b=ba) 所以R在S上是反对称的
定理13,2 va,b,c∈S有 aRb且bRc→ab=b且b°c=c →a°c=a°(b°c) →a°c=(a°b)°c →a°c=b°c=c →aRc 这就证明了R在S上是传递的。 综上所述,R为S上的偏序。 以下把R记作≤
定理13.2 a,b,c∈S 有 aRb且bRc ab＝b 且 bc＝c ac＝a(bc) ac＝(ab)c ac＝bc＝c aRc 这就证明了R在S上是传递的。 综上所述，R为S上的偏序。 以下把R记作≤
定理13,2 (3)证明<S,≤>构成格。即证明aVb=ab,a∧b=a*b va,b∈S有a°(a%b)=(a°a)%b=ab b°(a°b)=a°(bb)=ab 根据≤的定义有a≤ab和b≤ab,所以a%b是{a,b}的上界。 假设c为{a,b}的上界,则有a°c=c和b°c=c,从而有 (ab)°=a°(b°c)=a°c=c 这就证明了ab≤c,所以ab是{a,b}的最小上界,即a∨b=a%b 为证a*是{a,b}的最大下界,先证 a°b=b分→a*b=a (13.7) 首先由ab=b可知a*b=a*(a°b)=a 反之由a为=a可知a%b=(a*b)%b=b°(b米a)=b 再由式(13.7)和≤的定义有a≤b分a*=a,依照前边的证明, 类似地可证a是{a,b}的最大下界,即a∧b=a为b
定理13.2 (3) 证明<S，≤>构成格。 即证明a∨b＝ab，a∧b＝a*b 。 a,b∈S 有 a(ab)＝(aa)b＝ab b(ab)＝a(bb)＝ab 根据≤的定义有 a≤ab和b≤ab，所以ab是{a,b}的上界。 假设 c为{a,b}的上界， 则有ac＝c和bc＝c，从而有 (ab)c ＝ a(bc) ＝ ac ＝ c 这就证明了ab≤c，所以ab是{a,b}的最小上界，即 a∨b＝ab 为证a*b是{a,b}的最大下界， 先证 首先由ab＝b 可知 a*b ＝a*(ab) ＝a 反之由a*b＝a 可知 ab ＝(a*b)b ＝b(b*a)＝b 再由式(13.7)和≤的定义有 a≤b a*b＝a，依照前边的证明, 类似地可证 a*b是{a,b}的最大下界， 即 a∧b＝a*b。 ab＝b a*b＝a (13.7)