定理5,1当H0为真时,即(P10,p20,…,pn0)是总体 的真实概率分布时,由式(523)定义的统计量x2渐 近服从自由度为m-1的x2分布,即 lim p (N-叩o) <X i0 其中 x2(y,m-1),x>0 0 2 2,x>0 x(x,m-1)=122 x<0 是x2m-1)的分布密度函数。 湘潭大学数学与计算科学院一页一页6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 定理 5.1 当 H0 为真时，即 10 20 0 ( , , , ) m p p p 是总体 的真实概率分布时，由式（5.23）定义的统计量 2 n 渐 近服从自由度为m−1的 2 分布，即 2 0 1 0 2 0 ( ) lim ( , 1) , 0 m i i n i i x N np P x np y m dy x → = − = − ， 其中 3 2 2 1 1 2 2 2 1 , 0, ( , 1) 2 0, 0 m x m m x e x x m x − − − − − = 是 2 ( 1) m − 的分布密度函数
定理5.1的证明从略。 由定理51知,当n充分大时,可以近似地认为x2 近似服从x2(m-1)分布。对给定的检验水平 0<a<1,由x2分布表求出常数x2(m-1),使 P ≥y2(n a 给定一组样本值(x1,x2,…,xn),对应的 (N1,N2,…,Nn)的值为(n1,n2,…,n),由式(523) 计算出2的观察值 2=∑ n.-n i=1 0 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 定理5.1的证明从略。 由定理 5.1 知，当 n充分大时，可以近似地认为 2 n 近似服从 2 ( 1) m − 分布。对给定的检验水平 0 1 ，由 2 分布表求出常数 2 ( 1) m − ，使 2 2 ( 1) P n n − 给 定 一 组 样 本 值 1 2 ( , , , ) n x x x ， 对 应 的 1 2 ( , , , ) N N Nm 的值为 1 2 ( , , , ) n n nm ，由式（5.23） 计算出 2 n 的观察值 2 2 0 1 0 ( ) ˆ m i i n i i n np np = − =
如果≥x2(m-1),则拒绝假设H0,即认为 总体的分布与假设H中的分布有显著差异 若2<2(m-1),则接受H,即认为总体的 分布与假设H中的分布无显著差异 例5.10将一颗骰子掷了120次。如果如下: 点数:1,2,3,4,5,6。 频数:21,28,19,24,16,12。 问这颗骰子是否匀称 (a=0.05) 解依题意,欲检验假设,m
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 如果 2 2 ˆ ( 1) n − m ，则拒绝假设H0，即认为 总体的分布与假设H0中的分布有显著差异。 若 2 2 ˆ ˆ ( 1) n − m ，则接受H0 ，即认为总体的 分布与假设H0 中的分布无显著差异。 例5.10 将一颗骰子掷了120次。如果如下： 点数：1，2，3，4，5，6。 频数：21，28，19，24，16，12。 问这颗骰子是否匀称 ？ 解 依题意，欲检验假设( 0.05) =
Ho: P H1:n2≠ 616 计算得 21-120× 120× 2 28-120 19-120+)2 120× 120× 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 9 计算得 0 1 1 : 6 1 : ( 1,2, ,6) 6 i i H p H p i = = 2 2 2 2 1 21 120 6 ˆ 1 120 6 1 1 28 120 19 120 6 6 1 1 120 120 6 6 n − = − − + +
24-120 6 120 16-120 12-120× 120 120× 6 6 8.1 对a=0.05,查附表3得x5(6-1)=11.07。 因为2<x201(5),故接受假设H0, 即可认为这颗骰子是匀称的。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 10 2 2 2 1 24 120 6 1 120 6 1 1 16 120 12 120 6 6 1 1 120 120 6 6 − + − − + + = 8.1 对 = 0.05，查附表 3 得 2 0.05 (6 1) 11.07 − = 。 因为 2 2 0.05 ˆ (5) n ，故接受假设 H0 ， 即可认为这颗骰子是匀称的