§8.1多元正态分布参数的估计与 假设检验 在多元统计分析中,多元正态分布占有相当重要 的地位。这是因为,许多随机向量服从正态分布, 或近似服从正态分布,而且目前对于多元正态分 布已有一整套统计推断方法,并且得到了许多满 意的结果。下面介绍多元正态总休参数的统计推 断问题。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §8.1 多元正态分布参数的估计与 假设检验 在多元统计分析中，多元正态分布占有相当重要 的地位。这是因为，许多随机向量服从正态分布， 或近似服从正态分布，而且目前对于多元正态分 布已有一整套统计推断方法，并且得到了许多满 意的结果。下面介绍多元正态总休参数的统计推 断问题
多元正态分布参数的估计 在工程实际中,多元正态分布N(p,∑)的参数和 ∑常常是未知的,需要通过样本来估计。 设随机向量X服从维正态分布N(,∑,(X1,X2,…,X,) 为来自X的样本(n>p),在此每个X都为维随机向量 i=1,2,…,n)。令 ∑x (8.1) S=∑(X-X)(X-X),(82) 称X为样本均值向量,S为样本离差阵。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 一、多元正态分布参数的估计 在工程实际中，多元正态分布N(,) 的参数 和 常常是未知的，需要通过样本来估计。 设随机向量X 服从p 维正态分布 (,), N p ( , , , ) X1 X2 Xn 为来自X 的样本(n p)，在此每个Xi都为p 维随机向量 (i = 1,2,,n)。 令 = = n i Xi n X 1 1 ， （8.1） = = − − n k S Xk X Xk X 1 ( )( )， （8.2） 称X 为样本均值向量，S为样本离差阵
若令x为样品X的观察值(=1,2,…,n),则与的 观察值分别为 x=∑x,s=∑(x4-x)(x,-x) k=1 定理81若(X1,…,X)为来自总体Y的样本 X~N(,∑),∑>0,则X与分别是和∑的最大似然 n S 估计量,即A=X,2=。而和的最大似然估计值分 别为x=∑x,与=∑(x x(x-x k n 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 若令xi 为样品Xi 的观察值(i = 1,2,,n)，则X 与S 的 观察值分别为 = = = = − − n i n k xi s xk x xk x n x 1 1 , ( )( ) 1 。 定理 8.1 若( , , ) X1 Xn 为来自总体X 的样本， X ~ N p (,), 0，则X 与n S 分别是 和 的最大似然 估计量，即 n S = X = ˆ ˆ , 。而 和 的最大似然估计值分 别为 = = n i xi n x 1 1 与 = = − − n k xk x xk x n n s 1 ( )( ) 1
定理82若(X1,X2,…,X)是来自维正态 总体N(p,∑)的样本,∑>0则与S/n-1)分别 是和∑的最小方差无偏估计量,而与S/(n-1) 分别是和∑的最小方差无偏估计值 以上两个定理的证明可参阅《概论论》(复旦 大学,人民教育出版社,1983,第二册第二分 册)。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 定理 8.2 若( , , , ) X1 X2 Xn 是来自p 维正态 总体 (,) N p 的样本， 0则X 与S /(n − 1)分别 是和的最小方差无偏估计量，而x 与S /(n − 1) 分别是 和的最小方差无偏估计值。 以上两个定理的证明可参阅《概论论》（复旦 大学，人民教育出版社，1983，第二册第二分 册）
定理83若(X1…,X,)为取自维正态总体N(,∑)的 样本,X,S分别由式(8.1)和式(82)给出,则 ①X服从正态分布N(p,∑) ②存在相互独立的维正态量 19n-15i N(0,∑),=1,2,…,n 使S可表为 s=∑ (8.3) ③X与相互独立 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 定理 8.3 若( , , ) X1 Xn 为取自p 维正态总体 (,) N p 的 样本，X ，S 分别由式（8.1）和式（8.2）给出，则 ①X 服从正态分布 ) 1 ( , n N p ； ②存在相互独立的p 维正态量 Y1 ,,Yn−1 ,Yi ~ N(0,), i = 1,2,,n − 1， 使S 可表为 − = = 1 1 n i T S YiYi ； （8.3） ③X 与S 相互独立