§62两因素方差分析 两因素方差分析是讨论两因素试验的统计推断问题。本 文分非重复试验和重复试验两种情形进行讨论。 、两因素非重复试验的方差分析 设有两个因素A,B,因素A有r个不同水平: A,A2…A,;因素B有个不同水平:B,B2…,B, 在A,B的每一种组合水平(A,B)下作一次试验,试验 结果为Xn=(i=1,,r,j=1,2,…,s),所有X相互独立, 这样共得r个试验结果(表6.8)。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §6.2 两因素方差分析 两因素方差分析是讨论两因素试验的统计推断问题。本 文分非重复试验和重复试验两种情形进行讨论。 一、两因素非重复试验的方差分析 设 有 两 个 因 素 A，B ，因素 A 有 r 个 不 同 水 平 ： A1， A 2，， A r；因素B 有s个不同水平：B1， B 2，， B s， 在A，B的每一种组合水平( , ) Ai Bj 下作一次试验，试验 结果为X (i 1, ,r, j 1,2, ,s) i j = = = ，所有Xi j相互独立， 这样共得r s个试验结果（表 6.8）
表6.8 因素B B B X 因素A XI XI X X X X X A X X X X X X 这种对每个组合水平(A,B,)(i=1,2,…,r,j=1,2,…,s)各 作一次试验的情形称为两因素非重复试验。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 表6.8 因素B 因素A B1 B2 Bs . Xi A1 X1 1 X1 2 X1s . X1 A2 X2 1 X2 2 X2s . X2 Ar X r1 Xr 2 Xr s . Xr X j . 1 X. 2 X. X s . X 这种对每个组合水平(A ,B )(i 1,2, ,r, j 1,2, ,s) i j = = 各 作一次试验的情形称为两因素非重复试验
假定总体X服从正态分布NA,a2),其中 H=H+a1+B,i=1,2,…,r,j=1,2,…,S,(6.13) 而∑a=0,∑B=0。于是x可表示为 i=1 i=u+a:+B+8, i=1,2,…,r;j=1,2,…,s,(6.14) En~N(0,a2) 其中诸E相互独立,a称为因素A在水平4引起的效应, 它表示水平A在总体平均数上引起的偏差。 同样,称为因素B在水YB引起的效应,它表示水 平B在总体平均数上引起的偏差。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 假定总体Xi j服从正态分布 ( , ) 2 N i j ，其中 , i 1,2, ,r, j 1,2, ,s, i j = + i + j = = （6.13） 而 = = = = r i s j ai j 1 1 0, 0。 于是Xij可表示为 = + + + ~ (0, ), , 2 N X i j i j i j i j i = 1,2,,r; j = 1,2,,s, （6.14） 其中诸 i j 相互独立， i称为因素 A 在水平Ai 引起的效应， 它表示水平Ai 在总体平均数上引起的偏差。 同样， j称为因素B 在水平Bj 引起的效应，它表示水 平Bj在总体平均数上引起的偏差
所以要推断因素A的影响是否显著,就等价于要检验假设 H,:a,= a=04)H, 至少有一个 c1≠0,i=1,…,r。 类似地,要推断因素B的影响是否显著,就等价于要检验 假设 Hn:B1=B2=…=B=04>H12 至少有一个 B,≠0,j 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 所以要推断因素A的影响是否显著，就等价于要检验假设 01 1 2 0 11 H : = = r = H ; 至少有一个 i r i 0, = 1,, 。 类似地，要推断因素B 的影响是否显著，就等价于要检验 假设 02 1 2 0 12 H : = = = r = H ; 至少有一个 j s j 0, = 1,,
当H成立时,从式(6.13)可以看出,均值与a1无关, 这表明因素A对试验结果无显著影响 同理,当H成立时,从式(6.13)可以看出,均衠书 无关,这表明因素B对试验结果无显著影响,当Hn,H2都 成立时,=p,X的波动主要是由随机因素引起的。 导出检验假设H与H统计量的方式与单因素方差分析 相类似,可采用离差平方和分解的方法。 记 X.=∑X(i=12,…,, 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 当H01成立时，从式（6.13）可以看出，均值 i j 与 i 无关， 这表明因素A对试验结果无显著影响。 同理，当H02 成立时，从式（6.13）可以看出，均值i j 与 j 无关，这表明因素B对试验结果无显著影响，当H01 ，H02 都 成立时，i j = ，Xi j 的波动主要是由随机因素引起的。 导出检验假设H01与H02统计量的方式与单因素方差分析 相类似，可采用离差平方和分解的方法。 记 ( 1,2, , ), 1 . 1 X i r s X s j i = i j = =