§4.3 minimax估计 定义驮寮鰥枫橚瓤可趣;个癲邏镰舾黴决策 郾錾衄悄我猸自乔葉选鞦在个决笮数策恼数 它此风险尽订能的少;使得对D中任意一个决策函数 d(x1…,xn),总有 maxR(,d)≤maxR(2d),vd∈D (4.12) 则称d为这个统计决策问题的最小最大( nina)决策 函数。(在这里我们假定R关于0的最大值能达到,如果 最大值达不到,可能理解为上确界。) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §4.3 minimax估计 大家知道，风险函数提供了一个衡量决策函数 好坏的尺度，我们自然希望选取一个决策函数，使 得它的风险尽可能的小。 定义 4.10 给定一个统计决策问题，设 * D 是由全体决策 函 数 组 成 的 类 ， 如 果 存 在 一 个 决 策 函 数 * * * 1 ( , , ), n d d x x d = * D ，使得对 * D 中任意一个决策函数 1 ( , , ) n d x x ，总有 * * max ( , ) max ( , ), R d R d d D ， （4.12） 则称 * d 为这个统计决策问题的最小最大（minimax）决策 函数。（在这里我们假定R 关于 的最大值能达到，如果 最大值达不到，可能理解为上确界。）
由定义可见,我们是以最大风险的大小作为衡量 决策函数好坏的准则。因此,使最大风险达到最小的 决策函数是考虑到最不利的情况,要求最不利的情况 尽可能地好。也就是人们常说的从最坏处着想,争取 最好的结果。它是一种出于稳妥的考虑,也是一种偏 于保守的考虑。 如果我们讨论的问题是一个估计问题,则称满 足式(412)的决策函数d(x1…,Xn)为的最小 最大( minimax)估计量。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 由定义可见，我们是以最大风险的大小作为衡量 决策函数好坏的准则。因此，使最大风险达到最小的 决策函数是考虑到最不利的情况，要求最不利的情况 尽可能地好。也就是人们常说的从最坏处着想，争取 最好的结果。它是一种出于稳妥的考虑，也是一种偏 于保守的考虑。 如果我们讨论的问题是一个估计问题，则称满 足式（4.12）的决策函数 * 1 ( , , ) n d X X 为 的最小 最大（minimax）估计量
寻求最小最大决策函数的一般步骤: 对D中每个决策函数4(x1…xn),求出其风险函数在 上的最大风险值mR,d); 2.在所有最大风险值中选取相对最小值,此值对应的决 策函数便是最小最大决策函数。 例417地质学家要根据某地区的地层结构来判断该地是 否蕴藏石油,地层结构总是0、1两种状态之一,记该地无 油为,记该地有油为1,已知它们的分布规律如表42所 示(其中x表示地层结构的状态,6表示石油的状态) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 寻求最小最大决策函数的一般步骤: 1．对 * D 中每个决策函数 1 ( , , ) n d x x ，求出其风险函数在 上的最大风险值max ( , ) R d ； 2．在所有最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决 策函数便是最小最大决策函数。 例 4.17 地质学家要根据某地区的地层结构来判断该地是 否蕴藏石油，地层结构总是 0、1 两种状态之一，记该地无 油为0 ，记该地有油为1 ，已知它们的分布规律如表 4.2 所 示（其中x 表示地层结构的状态， 表示石油的状态）
表42地层结构分布规律表 0 (无油)0.60 61(有油)0.30.7 它表示如果该地区蕴藏石油,那么地层结构呈现状 态0的概率为0.3,呈现状态为1的概率为07,如果该地 区不蕴藏石油,那么地层结构呈现状态0的概率为0.6, 呈现状态1的概率为04,土地所有者希望根据地质学家 对地层结构的分析来决定自己投资钻探石油,还是出 卖土地所有权或者在该地区开辟旅游点, 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 表 4.2 地层结构分布规律表 x 0 1 0 （无油） 0.6 0.4 1 （有油） 0.3 0.7 它表示如果该地区蕴藏石油，那么地层结构呈现状 态0的概率为0.3，呈现状态为1的概率为0.7，如果该地 区不蕴藏石油，那么地层结构呈现状态0的概率为0.6， 呈现状态1的概率为0.4，土地所有者希望根据地质学家 对地层结构的分析来决定自己投资钻探石油，还是出 卖土地所有权或者在该地区开辟旅游点
分别记这三种决策为a1,a2a3,于是决策空间 a1a24},土地所有者权衡利弊之后取损失函数 1(,a)为表43所示。 表43损失函数D(2a)取值表 L(6,a) 3 6 (无油)1216 Bn(有油)0105 假如我们仅取一个观察X(样本大小为1)。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 分别记这三种决策为 1 2 3 a a a , , ，于是决策空间 = a a a 1 2 3 , , ，土地所有者权衡利弊之后取损失函数 L a ( , ) 为表 4.3 所示。 表 4.3 损失函数L a ( , ) 取值表 a L a ( , ) 1 a 2 a 3 a 0（无油） 12 1 6 1（有油） 0 10 5 假如我们仅取一个观察 X1 （样本大小为 1）