§33最小方差无偏估计 最小方差无偏估计和有效估计是在某种意义下的最 优估计,两者既有区别又有密切的关系。如果求出 参数θ的一个估计量6,判别其是否为最小方差无偏 估计或有效估计,显然具有重要的意义。倘若能直 接求出参数e的最小方差无偏估计或有效估计,则 将更加令人满意,本节将研究这些问题。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §3.3 最小方差无偏估计 最小方差无偏估计和有效估计是在某种意义下的最 优估计，两者既有区别又有密切的关系。如果求出 参数 的一个估计量 ˆ ，判别其是否为最小方差无偏 估计或有效估计，显然具有重要的意义。倘若能直 接求出参数 的最小方差无偏估计或有效估计，则 将更加令人满意，本节将研究这些问题
、最小方差无偏估计 由定义34知,最小方差无偏估计(MVUE)是在 无偏估计类中,使均方误差达到最小的估计量,即在 均方误差最小意义下的最优估计。它是在应用中,人 们希望寻求的一种估计量。 定理3.7设6(X)是的一个无偏估计,D日<∞,若 对任何满足条件:E(X)=0,DL(X)<∞的统计量L(X), 有 ELL(X0(X=0 则6(X)是0的MVUE。共中X=(X1,X2,…,Xn)。 湘潭大学数学与计算科学学院一2层m
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 一、最小方差无偏估计 由定义3.4知，最小方差无偏估计（MVUE）是在 无偏估计类中，使均方误差达到最小的估计量，即在 均方误差最小意义下的最优估计。它是在应用中，人 们希望寻求的一种估计量。 定理 3.7 设 ( ) ˆ X 是 的一个无偏估计，Dˆ ，若 对任何满足条件：EL(X) = 0, DL(X) 的统计量L(X)， 有 E[L(X )ˆ(X )] = 0， 则 ( ) ˆ X 是 的 MVUE。共中 ( , , , ) X = X1 X2 Xn
证明设B(X)是6的任一无偏估计,记 L(X)=6(X)-0(X),则L(X)为0的无偏估计,由于 D(X=DIL(X)+O(X)= DL(X)+DO(X) +2E{(x)-EL(X)(x)-E(x)} =DL(X)+D6(X)≥D6(X) 故6(X)是的MVUE。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 证 明 设 ( ) ˆ1 X 是 的 任 一 无 偏 估 计 ， 记 ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) L X = 1 X − X ，则L(X)为 0 的无偏估计，由于 2 [ ( ) ( )][ ˆ( ) ˆ( )] ( ) ˆ ( )] ( ) ˆ ( ) [ ( ) ˆ 1 E L X EL X X E X D X D L X X DL X D X + − − = + = + ( ) ˆ ( ) ˆ = DL(X ) + D X D X ， 故 ( ) ˆ X 是 的 MVUE
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例3.19设X=(X1,X2…,Xn)是来自正态总体 N(,2)的一个样本,已知X和S”分别是和2的无偏 估计,证明X和S分别是和的MVUE。 证明设L(X)满足EL(X)=0,则有 L·exi 2 ∑(x-p)}=0。(315) 上式关于求导,得 ∫…∫L∑ x)expo ∑(x-p}=0, i=1 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 例 3.19 设 ( , , , ) X = X1 X2 Xn 是来自正态总体 ( , ) 2 N 的一个样本，已知X 和 2 Sn 分别是 和 2 的无偏 估计，证明X 和 2 Sn 分别是 和 2 的 MVUE。 证明 设L(X)满足EL(X) = 0，则有 = − − = ( ) 0 2 1 exp 1 2 2 L x d x n i i 。 （3.15） 上式关于 求导，得 = − − = = ( ) 0 2 1 ( )exp 1 2 2 1 L x x dx n i i n i i