§41统计决策的基本概念 、统计判决问题的三个要素 为了估计一个未知参数,需要给出一个合适的 估计量,该估计量也称为该统计问题的解。一般地 说,一个统计问题的解就是所谓的统计决策函数。 为了明确统计决策函数这一重要概念,需对构成一 个统计决策问题的基本要素作一介绍。这些要素是: 样本空间和分布族;行动空间以及损失函数。以下 逐点介绍。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §4.1 统计决策的基本概念 一、统计判决问题的三个要素 为了估计一个未知参数，需要给出一个合适的 估计量，该估计量也称为该统计问题的解。一般地 说，一个统计问题的解就是所谓的统计决策函数。 为了明确统计决策函数这一重要概念，需对构成一 个统计决策问题的基本要素作一介绍。这些要素是： 样本空间和分布族；行动空间以及损失函数。以下 逐点介绍
1.样本空间和分布族 定义设总体X的分布函数为F(x),O是未知参数O∈⊙, 称为参数空间。若(X1,X2,…,X)为取自总体X的一个样本, 则样本所有可能值组成的集合称为样本空间,记为S,由 于X的分布函数为F(x;)=12…,n,则(X1…X)的联合 分布函数为 F(x2…,x;0)=∏F(x:0),O∈⊙ 若记-∏(x,则称F为样本(x,…,x,)的概率 分布族,简称分布族。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 1．样本空间和分布族 定义 设总体X 的分布函数为F x( ; ) ， 是未知参数 ， 称为参数空间。若 1 2 ( , , , ) X X Xn 为取自总体 X 的一个样本， 则样本所有可能值组成的集合称为样本空间，记为 S ，由 于 Xi的分布函数为 ( ; ), 1,2, , F x i n i = ，则 1 ( , , ) X Xn 的联合 分布函数为 1 1 ( , , ; ) ( ; ), n n i i F x x F x = = 若记 1 ( ; ), n i i F F x = = ，则称 * F 为样本 1 ( , , ) X Xn 的概率 分布族，简称分布族
例4.1设总体X服从两点分布B(,p),P为未知参数, 0≤P≤1,(X1,…,Xn)是取自总体X的样本, 则样本空间是集合 1 ·"n ):x=0,1,=12,…,n 它含有2个元素,样本(x1…,Xn)的分布族为 XX F={p(1-p)ax2=0i=1,2,…,n,0≤p≤1 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 例 4.1 设总体X 服从两点分布B p (1, ) ，p 为未知参数， 0 1 p ， 1 ( , , ) X X n 是取自总体X 的样本， 则样本空间是集合 = = = ( , , ) : 0,1, 1, 2, , x x x i n 1 n i 。 它含有2 n 个元素，样本 1 ( , , ) X Xn 的分布族为 * 1 1 (1 ) 0.1, 1,2, , ,0 1 n n i i i i x n x F p p x i n p i = = − = − = =
2.决策空间(或称判决空间) 对于一个统计问题,如参数的点估计,一个具体的估 计值就是一个回答。在统计决策中,每一个具体的回答 称为一个决策,一个统计问题中可能选取的全部决策组 成的集合称为决策空间,记为E。一个决策空间E至 少应含有两个决策,假如E中只含有一个决策,那人们 就无需选择,从而也形成不了一个统计决策问题。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 2．决策空间（或称判决空间） 对于一个统计问题，如参数 的点估计，一个具体的估 计值就是一个回答。在统计决策中，每一个具体的回答 称为一个决策，一个统计问题中可能选取的全部决策组 成的集合称为决策空间，记为 * E 。一个决策空间 * E 至 少应含有两个决策，假如 * E 中只含有一个决策，那人们 就无需选择，从而也形成不了一个统计决策问题
例如,要估计正态分布N(A0)中的参数 ,H∈⊙=(-∞,+∞)。因为在(=,+∞)中取值,所以 每一个实数都可用来估计,故每一个实数都代表一个 决策,决策空间为=(-∞,+∞)。 值得注意的是,在中具体选取那个决策与抽取的样本 和所采用的统计方法有关。 例4.2某厂打算根据各年度市场的销售量为决定下年度 应该扩大生产还是缩减生产,或者维持原状,这样决策 空间为 ={扩大生产,缩减生产,维持原状} 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 例如，要估计正态分布 2 N( , ) 中的参数 , ( , ) = − + 。因为 在( , ) − + 中取值，所以 每一个实数都可用来估计 ，故每一个实数都代表一个 决策，决策空间为 = − + ( , )。 值得注意的是，在 中具体选取那个决策与抽取的样本 和所采用的统计方法有关。 例4.2 某厂打算根据各年度市场的销售量为决定下年度 应该扩大生产还是缩减生产，或者维持原状，这样决策 空间 为 = 扩大生产，缩减生产，维持原状