§2.2充分统计量与完备统计量 充分统计量 在数理统计中,由样本来推断总体的前提是:样本 包含了总体分布的信息。样本中包含的关于总体分布 的信息可分为: 1、关于总体结构的信息,即反映总体分布的类型。 如总体服从正态分布,则来自该总体的样本相互独 立并均服从该正态分布,即样本包含了总体分布为 正态分布的信息。 2、关于总体未知参数的信息,这是由于样本的分 布中包含了总体分布中的未知参数。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 §2.2 充分统计量与完备统计量 一 充分统计量 在数理统计中，由样本来推断总体的前提是：样本 包含了总体分布的信息。样本中包含的关于总体分布 的信息可分为： 1、关于总体结构的信息，即反映总体分布的类型。 如总体服从正态分布，则来自该总体的样本相互独 立并均服从该正态分布，即样本包含了总体分布为 正态分布的信息。 2、关于总体未知参数的信息，这是由于样本的分 布中包含了总体分布中的未知参数
为了推断总体分布的未知参数,需要把样本中关于 未知参数的信息“提炼“出来,即构造合适的统计量, 显然,一个“好”的统计量应该能够将样本中所包含 的关于未知参数的信息全部提炼出来,而不没有任何 有用信息损失,这就是英国著名统计学家 Fisher于 1922年提出的一个重要的概念—一充分统计量。 定义设X,X,…,X为来自总体X的样本,X的分 布函数为F(x;0),T=T(X1,X2,,X)为一个统计量, 当给定T=t时,如果样本(X,X,…,X)的条件分布 (离散总体时为条件概率,连续总体时为条件密度) 与参数6无关,则称T为参数O的充分统计量。 湘潭大学数学与计算科学学院一四2层m
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 为了推断总体分布的未知参数，需要把样本中关于 未知参数的信息“提炼“出来，即构造合适的统计量， 显然，一个“好”的统计量应该能够将样本中所包含 的关于未知参数的信息全部提炼出来，而不没有任何 有用信息损失，这就是英国著名统计学家Fisher于 1922年提出的一个重要的概念-----充分统计量。 定义 设 X X X n , , , 1 2 为来自总体 X 的样本，X 的分 布函数为F(x; )，T=T(X X X n , , , 1 2 )为一个统计量， 当给定 T=t 时，如果样本（X X X n , , , 1 2 ）的条件分布 （离散总体时为条件概率，连续总体时为条件密度） 与参数 无关，则称 T 为参数 的充分统计量
对统计量T,如果已知它的值以后,样本的条件分布 与6无关,就意味着样本的剩余部分中已不再包含关于 的信息,也就是在T中已包含有关的全部信息。因此, 对θ的统计推断只需要从T出发即可,不再需要样本数据。 例设总体X服从两点分布B(,),即 P(X=x)=p(1-p),x=0,1 其中0<1,(X1,X2,X)为来自总体X一个样本, 试证:X=>X是参数p的充分统计量 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 对统计量 T，如果已知它的值以后，样本的条件分布 与 无关，就意味着样本的剩余部分中已不再包含关于 的信息，也就是在 T 中已包含有关 的全部信息。因此， 对 的统计推断只需要从 T 出发即可，不再需要样本数据。 例. 设总体 X 服从两点分布 B p (1, ) ,即 P(X=x)= 1 (1 ) x x p p − − ,x=0,1, 其中 0<p<1, （X X X n , , , 1 2 ）为来自总体 X 一个样本, 试证: 1 1 n i i X X n = = 是参数 p 的充分统计量
证明:因为x~B(p,所以nX=∑X,-B(m,P),即有 P(nX=k)=Cp(1-p)”,k=0,1,…,n 设(x,x2,…,x,为样本观测值,其中x=0,1.如果已 知X=则样本(X1,X2…,X)的条件概率 k P(X=X,X X=xx= P(X1=x1,X2=x2 3n=n,F、h k P(X 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 证明：因为 Xi B p (1, ),所以 1 ( , ) n i i nX X B n p = = ,即有 ( ) (1 ) , 0,1, , . k k n k P nX k C p p k n n − = = − = 设( ) x x xn , , , 1 2 ,为样本观测值，其中 0,1 . i x = 如果已 知 n k X = 则样本( ) X X Xn , , , 1 2 的条件概率 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , , , ) ( , , , , ) ( ) n n n n k P X x X x X x X n k P X x X x X x X n k P X n = = = = = = = = = =
P(X=X,X2=x,,,Xn=xn) ,如果∑x,=k, P(nX=k) 0,如果∑x1≠k, k Cp(1-p)”k 如果∑ 0,如果∑x,≠k, 1如果∑x O,如果∑x≠k 与p无关,所以X为p的充分统计量 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 1 1 2 2 1 1 ( , , , ) , ( ) 0 , n n n i i n i i P X x X x X x x k P n X k x k = = = = = = = = 如 果 ， 如 果 ， 1 1 1 1 (1 ) , (1 ) 0 , n n i i i i x n x n k k n k i n i n i i p p x k C p p x k = = − − = = − = = − 如 果 ， 如 果 ， 1 1 1 , 0, n k i n i n i i x k C x k = = = = 如果 ， 如果 ， 与 p 无关，所以 X 为 p 的充分统计量