§24次序统计量及其分布 次序统计量 设(X1,X2,…,X)是从总体X中抽取的一个样本, 记(x1,x2,…,x)为样本的一个观测值,将观测值的各 个分量按由小到大的递增序列重新排列为 x1≤x<…≤x 2) (n) 当(X1,X2,…,X)取值为(x,x2,…,x)时,定义X取 值为xk(k=1,2…,m)由此得到的(X(,xX(2)2…,X(m)称为 样本(X1,X2…,X,)的次序统计量。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 1 § 2.4 次序统计量及其分布 一 次序统计量 设( ) X X Xn , , , 1 2 是从总体 X 中抽取的一个样本， 记( ) x x xn , , , 1 2 为样本的一个观测值，将观测值的各 个分量按由小到大的递增序列重新排列为 (1) (2) ( ). n x x x 当( ) X X Xn , , , 1 2 取值为( ) x x xn , , , 1 2 时,定 义X( ) k 取 值 为 ( ) ( 1,2, , ), k x k n = 由此得到的 (1) (2) ( ) ( , , , ) X X X n 称 为 样本( ) X X Xn , , , 1 2 的次序统计量
显然有 X<X、<…<X (n) 其中X=minX称为最小次序统计量,它的值x是样本 值中最小的一个;而X(m)=maxX称为最大次序统计量, 它的值xm是样本值中最大的一个。 由于次序统计量的每一个分量Xk都是样本 (X,X2,…,X)的函数,所以X,X2…X也都是随机 变量。样本(X1,X2…,X,)是相互独立的,但其次序统 计量(X),X2y…Xm)一般不是独立的。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 2 显然有 X X X (1) (2) ( ) n 其中 (1) 1 min i i n X X = 称为最小次序统计量，它的值 (1) x 是样本 值中最小的一个；而 ( ) 1 max n i i n X X = 称为最大次序统计量， 它的值 ( ) n x 是样本值中最大的一个。 由于次序统计量的每一个分量X( ) k 都是样本 ( ) X X Xn , , , 1 2 的函数，所以 (1) (2) ( ) , , , X X X n 也都是随机 变量。样本( ) X X Xn , , , 1 2 是相互独立的，但其次序统 计量 (1) (2) ( ) ( , , , ) X X X n 一般不是独立的
定义样本X,X,…,X按由小到大的顺序重排为 X,< XA< (2) X 则称(X,X2y…X(m)为样本(X1,X2,…,Xn)的次序统计 量,X(称为样本的第k个次序统计量。 定理次序统计量是充分统计量。 证明当给定X=x…X(m)=xm时,由于X1,X2,…,Xn 独立同分布,所以 P(X (1) X=x 此条件分布与总体分布无关,故次序统计量是充分统计量。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页3
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 3 定义 样本X X Xn , , , 1 2 按由小到大的顺序重排为 X X X (1) (2) ( ) n 则称 (1) (2) ( ) ( , , , ) X X X n 为样本（X X Xn , , , 1 2 ）的次序统计 量，X( ) k 称为样本的第 k 个次序统计量。 定理 次序统计量是充分统计量。 证 明 当给定 (1) (1) ( ) ( ) , , X x X x = = n n 时，由于X X Xn , , , 1 2 独立同分布， 所以 1 (1) ( ) 1 ( , , ) ! n P X x X x i i n n = = = 此条件分布与总体分布无关，故次序统计量是充分统计量
定理设总体X的分布密度为fx)(分布函数为F(x), X1,X2,…,X为样本,则第k个次序统计量X的分布 密度为 fx(x= [F(x)[1-F(x)”f(x)2k=1,2,…n (k-1)(n-k) 特别,最小次序统计量X和最大次序统计量X的分布 密度为 fxn(x)=1-F(x)了(x) (1) 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 4 定理 设总体 X 的分布密度为 f(x)(分布函数为 F(x)), X X Xn , , , 1 2 为样本，则第 k 个次序统计量X( ) k 的分布 密度为 ( ) 1 ! ( ) [ ( )] [1 ( )] ( ), 1,2, , . ( 1)!( )! k k n k X n f x F x F x f x k n k n k − − = − = − − 特别，最小次序统计量X(1) 和最大次序统计量X( ) n 的分布 密度为 (1) ( ) 1 1 ( ) [1 ( )] ( ), ( ) [ ( )] ( ). n n X n X f x n F x f x f x n F x f x − − = − =
定理设总体X的分布密度为fx)(分布函数为F(x) X1,X2,…,X,为其样本,则次序统计量的分布密度为 (Xy,X(2y)…X(m)的联合分布密度为 f(y1,y2…,yn)=11 nlf()y<y2≤…<y 0其他 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 5 定理 设总体X的分布密度为f(x)(分布函数为F(x)), X X Xn , , , 1 2 为其样本，则次序统计量的分布密度为 (1) (2) ( ) ( , , , ) X X X n 的联合分布密度为 1 2 1 2 1 ! ( ), ( , , , ) 0, n i n n i n f y y y y f y y y = = 其他