第二章多项式定理及其应用 从含n个元素的集合中取出k个不同元素的组合数C有许多引人入胜的性质,并且涉及到各种等式 由于它们是出现在二项式定理之中,所以我们又将其称为二项式系数.下面我们就先引入著名的牛顿二项 式定理 定理3.1设n是一个正整数,则有 (a+b) 0≤ksn 证明在乘积等式 (a+b)2=(a+b)(a+b)…(a+b) 中,项ab是从n个因子(a+b)中选取k个,然后在这k个(a+b)里都取b,而从余下来的n-k个因子 中都选取a作乘积得到的,因此,项a-b的系数即为组合数Ck,本定理得证 以下我们举几个例子,以说明牛顿二项式定理的应用 定理322"=∑C6,0=∑(-1)C8,2"=∑Cn=∑C 0≤k<n 证明在牛顿定理中令a=b=1即可得证(1)式,令a=1,b=-1即可得证(2)式.我们将(1)(2)式 相加,并且利用当k>n时,组合数Ck=0的性质得到 2"=2∑C2,即2"=∑C2 如果我们将(1)(2)式相减得到 Cn,即2=∑C 0≤k 本定理证毕 定理3.3设n,m,r是整数,而且n≥m≥0,则有 ∑cnC=Cr,∑()=C k≥0 证明在牛顿定理中取a=1,bt,则有 ∑Cnt'=(1+1)=(1+1(+1) ∑∑CnC 比较上式两边的系数即知本定理的第一个结论成立现在在第一个结论中令n=2n1,r=m1,m=n,并且利 用Cn-=C,则得到第二个结论
第二章 多项式定理及其应用 从含 个元素的集合中取出 个不同元素的组合数 有许多引人入胜的性质,并且涉及到各种等式. 由于它们是出现在二项式定理之中,所以我们又将其称为二项式系数.下面我们就先引入著名的牛顿二项 式定理. n k k Cn 定理 3.1 设 n 是一个正整数,则有 ( )n + ba = ∑≤≤ − nk kknk n baC 0 . 证明 在乘积等式 ( )n + ba = ( + ba ) ( + ba )…( + ba ) 中,项 是从 个因子 kkn ba − n ( + ba )中选取 k 个,然后在这 k 个( + ba )里都取b ,而从余下来的 个因子 中都选取 作乘积得到的,因此,项 的系数即为组合数 ,本定理得证. n k − a kn k ba − k Cn 以下我们举几个例子,以说明牛顿二项式定理的应用. 定理 3.2 = , 0= , = n 2 ∑≤≤ nk k Cn 0 ∑≤≤ − nk k n k C 0 )1( 1 2n− ∑≤k k Cn 0 2 =∑≤ + k k Cn 0 12 . 证明 在牛顿定理中令 = =1 即可得证（1）式,令 =1, b =-1 即可得证（2）式.我们将（1）（2）式 相加,并且利用当 时,组合数 =0 的性质得到 a b a k n > k Cn n 2 =2∑≤k k Cn 0 2 ,即 = 1 2n− ∑≤k k Cn 0 2 . 如果我们将（1）（2）式相减得到 n 2 =2∑≤ + k k Cn 0 12 ,即 = 1 2n− ∑≤ + k k Cn 0 12 . 本定理证毕. 定理 3.3 设 nmr , , 是整数,而且 mn ≥≥ 0 ,则有 ∑≥ − − k 0 kr m k mn CC = ,r Cn ( ) n n k k n CC 2 0 2 ∑ = ≥ . 证明 在牛顿定理中取 a =1, b =t,则有 ( )( ) ( ) n m mn r rr n ttttC − ≥ ∑ 111 ++=+= 0 = ∑∑ ≥ − ≥0 k 0 kk mn l ll m tCtC = ∑∑ ≥≥ =+ − ≥ 0,0 0 lk rlk l m k mn r r CCt =∑ ∑ . ≥ ≥ − − r k 0 0 kr m k mn r CCt 比较上式两边的系数即知本定理的第一个结论成立.现在在第一个结论中令 1 1 n nr nm n 2, , = = = 1 ,并且利 用 ,则得到第二个结论. k n kn n CC 1 1 1 = − - 23 -
第二章多项式定理及其应用 定理34∑k(-C=0,∑(-1)CC=0 证明在牛顿定理中令a=1,b=-1,则有 (-)=∑(-)cnt……(1) 对上式两边的t求微商,得到 n(-)=∑(-)kCt 令【=1,我们就得到第一个结论 如果我们对(1)式两边的t进行r次微商,则有 (-1)P(-1y=∑(-1)PCr 在上式两边同时除以r!,并令【=1,即可得到第二个结论 定理3.5 (-Nc:=n+1XC=S下 k k 证明由于Cn(n-k)k!n+1,及我们再利用定理32的结论有 Issn k+I n+1 ∑(-1)C-1+(n+1) n+1 所以,第一个结论成立对n作归纳法,并且利用第一个结论即可得到第二个结论 上面我们考虑是当n为正整数时,(a+b)”的展开形式问题对于n为任意实数的情形,我们仅给出结 果而不加以证明 定理36(广义二项式定理)设a∈R(实数,则对于适合0≤x<y的x,y有 a(a-1)…(a-k+1) 注意,如果a是正整数,且k>a,则C=0 事实上定理36等价于:对<1有
第二章 多项式定理及其应用 定理 3.4 ( ) 01 , . 1 ∑ =− ≥ k n k k Ck ( ) 1 0 0 ∑ − = k≥ k n r k k CC 证明 在牛顿定理中令 a =1, b = −t ,则有 ( ) ∑( ) ≥ −=− 0 1 1 k kk n n k t tC ………(1) 对上式两边的t 求微商,得到 ( ) ∑( ) ≥ − − −=−− 1 1 1 1 1 k kk n n k tn tkC . 令t =1,我们就得到第一个结论. 如果我们对(1)式两边的t 进行 r 次微商,则有 ( ) ( ) ∑( ) ≥ − − −=−− rk rkk n r k r rn k n r 11 tP 1 tCP . 在上式两边同时除以 r!,并令t =1,即可得到第二个结论. 定理 3.5 ( ) 1 1 1 1 + = + − ∑≥ n n C k k k n k , ( ) ∑ ∑ ≥ ≤ ≤ − = − 1 1 1 1 1 k n k k n k k C k . 证明 由于 ( ) 1 1 1 1 !! ! + + + + = − = k n k n C n k kkn n C ,及我们再利用定理 3.2 的结论有 ( ) k n nk k C k ∑≤≤ − + − 1 1 1 1 = ( ) ∑≤≤ + + − + − nk k n k C 1 n 1 1 1 1 1 = ( ) ∑+≤≤ + + − 12 1 1 1 nk k n k C n = 1 1 n + [ ∑( ) -1+（n+1）] +≤≤ −1 +1 k n k C nk 10 = n +1 n , 所以,第一个结论成立.对 n 作归纳法,并且利用第一个结论即可得到第二个结论. 上面我们考虑是当 为正整数时, 的展开形式问题.对于 为任意实数的情形,我们仅给出结 果而不加以证明. n ( n a b + ) n 定理 3.6（广义二项式定理） 设α ∈ R (实数),则对于适合0 ≤ x < y 的 x, y 有 0 ( ) kk k k x y Cxy α α α ∞ − = + = ∑ 其中 ( 1) ( 1 ! k k C k α α α α − −+ ) = " . 注意,如果α 是正整数,且 k >α ,则 0 k Cα = . 事实上定理 3.6 等价于:对 z <1有 - 24 -
第二章多项式定理及其应用 (1+)=∑C k=0 如果令a=-n,n为正整数,则 7-1)…(-n-k+1) n(n+1)…(n+k-1) kI 所以,对|<1有 (1+) 注意,C61恰是从n个元素中有重复取出k个元素的取法数(组合数 二项式系数的单峰性质 我们仔细观察二项式的系数C,就会发现开始时这些数是增加的,而后就减少了.具有这种性质的数 列被称之为单峰数列. 定义设{S,}是一数列.如果存在整数t满足0≤t≤n,使得 S≤S1≤…≤S,S1≥S 则我们称数列{S}为单峰数列,其中的数s,称为数列中的最大数或峰值. 注意,定义中的整数t不一定是唯一的 例如对于数列S。=1,S1=3,S2=3,S3=2有 、.< 但是也可以有 S≤S1,S12S2≥S3 定理4.1令n是正整数,二项式系数数列 是单峰数列.如果是偶数,则
第二章 多项式定理及其应用 0 (1 ) k k k z C α α ∞ = + = ∑ z . 如果令α = −n , n 为正整数,则 1 ( 1) ( 1) ! ( 1) ( 1) =( 1) ! =( 1) k k n k k k n k nn nk C C k nn n k k C α − + − − −− −− + = = + + − − − " " 所以, 对 z <1有 1 0 1 (1 ) ( 1) (1 ) n k n n k k z C z ∞ − + − = + = =− + ∑ k k z 1 0 1 (1 ) (1 ) n k n n k k z C z ∞ − + − = −= = − ∑ k z . 注意, 恰是从 个元素中有重复取出 个元素的取法数(组合数). 1 k Cn k + − n k 4、二项式系数的单峰性质 我们仔细观察二项式的系数 ,就会发现开始时这些数是增加的,而后就减少了.具有这种性质的数 列被称之为单峰数列. k Cn 定义 设{ si }是一数列.如果存在整数t 满足0 ≤ ≤ nt ,使得 ttt n ≤ ≤ ≤ ≥≥≥ ssssss 10 " , +1 " , 则我们称数列{ }为单峰数列,其中的数 称为数列中的最大数或峰值. i s t s 注意,定义中的整数t 不一定是唯一的. 例如 对于数列 10 2 === ssss 3 = 2,3,3,1 有 32210 ≤ ≤ , ≥ sssss . 但是也可以有 32110 ≤ s , ≥≥ ssss . 定理 4.1 令 n 是正整数,二项式系数数列 n nn CCC n ,,, 10 " 是单峰数列.如果是偶数,则 - 25 -
第二章多项式定理及其应用 如果是奇数,则 证明考察二项式系数数列中相邻项的数之比,我们得到 k!(n-k)! n-k+1 (k-1)(n-k+1) 所以,根据k<n-k+1,k=n-k+1,k>n-k+1有 又k<n-k+1当且仅当<分1 n+1 而我们知道如果n是偶数,则k 等价于k≤-;如果n是奇 数,则k∠2等价于k≤1 n+1 因此,此时这两个相邻的二项式系数是增加的 再k=n-k+1当且仅当2k=n+1.而如果n是偶数,则2k≠n+1:如果n是奇数,则对于k=n+1 有2k=n+1.因此,我们得知:如果n是偶数,则二项式系数数列中没有两个相邻的项是相等的;如果n是 奇数,则二项式系数数列中仅有两个相邻的项是相等,它们是 C.2和C2 综上,我们知道所要证明的结论成立 推论4.2令n是正整数,则在二项式系数数列 中的最大数是Cn2,其中[x]表示小于或等于数x的最大整数 5、多项式定理 定义设n=1+r2…+n,假设我们有k个盒子(B1,B2…,Bk)和n个有标记的球我们使用记号 Cnr来表示有多少种方法,能将这n个有标记的球放入这k个盒子,使其中有r1个球放入B1中,r2个球放入 B中,…,n个球放入B中 事实上,易知CnA3=CnCm,Cm+r2!r 定理5.1(多项式定理)当n是一个正整数时,我们有
第二章 多项式定理及其应用 0 1 2 n CC C n n < << " n , 1 2 n n n C C n n − >> > " Cn . 如果是奇数,则 1 0 1 2 n CC C nn n − < << " = 1 1 2 n n n C C n n + − >> > " Cn . 证明 考察二项式系数数列中相邻项的数之比,我们得到 k kn knk n knk n C C k n k n 1 )!1()!1( ! )!(! ! 1 +− = +−− − = − . 所以,根据 k nk k nk k nk <−+ =−+ >−+ 1, 1, 1有 111 , , k kk kk k C CC CC C n nn nn −−− <=> n . 又 k nk <−+1当且仅当 1 2 n k + < .而我们知道如果 n 是偶数,则 1 2 n k + < 等价于 2 n k ≤ ;如果 是奇 数,则 n 1 2 n k + < 等价于 2 −1 ≤ n k .因此,此时这两个相邻的二项式系数是增加的. 再 knk +−= 1当且仅当 nk += 12 .而如果 是偶数,则 n ≠ nk +12 ;如果 n 是奇数,则对于 2 +1 = n k 有 .因此,我们得知: 如果 是偶数,则二项式系数数列中没有两个相邻的项是相等的;如果 n 是 奇数,则二项式系数数列中仅有两个相邻的项是相等,它们是 nk += 12 n 2 n+1 Cn 和 2 n−1 Cn . 综上,我们知道所要证明的结论成立. 推论 4.2 令 n 是正整数,则在二项式系数数列 n nn CCC n ,,, 10 " 中的最大数是 ] 2 [ n Cn ,其中[ x ]表示小于或等于数 x 的最大整数. 5、多项式定理 定义 设 k += 21 ... + rrrn ,假设我们有k个盒子（ ）和n个有标记的球.我们使用记号 来表示有多少种方法,能将这n个有标记的球放入这k个盒子,使其中有r BBB K ,...,, 21 krrr Cn ,...,, 21 1个球放入B1中,r2个球放入 B2中,…,rk个球放入Bk中. 事实上,易知 = = krrr Cn ,...,, 21 k k r rrrn r rn r n CCC 21 1 2 1 1 ... ... −−−−− − !!...! ! 21 k rrr n . 定理 5.1（多项式定理） 当 n 是一个正整数时,我们有 - 26 -
第二章多项式定理及其应用 (x1+x2+…+x)=∑ 其中符号Σ表示上式中的r1,F2…,经过所有满足n=F1+r2…+rk的非负整数 证明我们有 (x1+x2++x4)=(x1+x2+…+x)…(x1+x2++x) 上式是由n个因子相乘而得的,而它的展开式的项都是由每个因子之中各取某个x1,然后相乘而得到的,即 所有的项都具有形式 x1x2…xk 而且n=F1+F2…+r.又项x1x2…x的系数等于在这n个因子中先取出r个因子而在这个因子中都是 取x1,然后再取出r2个因子而在这2个因子中都是取x2,…,最后取出个因子而在这r个因子中都是取 x,故项x1x2…x的系数等于Cn”4 例51在多项式(x+x2++x3)7的展开式中的项xx2x2x3的系数是 C20.31 7 =420 20!! 因为在它的展开式中不同项(合并同类项后)的个数等于从5个不同元素中有重复地取出7个元素的方法 数,所以不同项的个数为C31=30 例52在展开多项式(2x1-3x2+5x3)·时,项x3x2x3的系数为 23×(-3)×52×C32=-36000 在它的展开式中不同项(合并同类项后)的个数等于从3个不同元素中有重复地取出6个元素的方法数 所以不同项的个数为C3e1=28 例5.3现有13个儿童将在3个圆桌旁就午餐,每个圆桌旁最多能容纳5人.试将他们分成3个组,每组 数分别为5,4,4,则有多少种安排就餐的方法? 解首先,考虑分组的方法数其为CC1C1s-4=90090 其次,由于儿童是坐在圆桌旁,所以对于每一种分组的方法,儿童就座的方法数为 于是,安排就餐的方法数为90090×864=77837760
第二章 多项式定理及其应用 ( )n k ... +++ xxx 21 = ∑ ≤≤≥ =+++ kir nrrr r k rrr rr n i k k k xxxC 1,0 ... 21 ,...,, 21 21 21 ... , 其中符号 表示上式中的 经过所有满足 Σ k ,...,, rrr 21 k = + 21 ... + rrrn 的非负整数. 证明 我们有 ( )n k ... +++ xxx 21 = ( ) k + + ... + xxx 21 …( ) k + + ... + xxx 21 , 上式是由 n 个因子相乘而得的,而它的展开式的项都是由每个因子之中各取某个 ,然后相乘而得到的,即 所有的项都具有形式 i x kr k rr ...xxx 21 21 而且 .又项 的系数等于在这 个因子中先取出 个因子而在这 个因子中都是 取 k 21 ... ++= rrrn kr k rr ...xxx 21 21 n 1 r 1 r 1 x ,然后再取出 r2 个因子而在这 r2 个因子中都是取 2 x ,…,最后取出 rk 个因子而在这 个因子中都是取 kr k x ,故项 的系数等于 . kr k rr ...xxx 21 21 krrr Cn ,...,, 21 例 5.1 在多项式( ) 的展开式中的项 的系数是 7 21 5 ... +++ xxx 5 3 43 2 1 xxxx 1,3,1,0,2 C7 = !1!3!1!0!2 !7 =420. 因为在它的展开式中不同项（合并同类项后）的个数等于从 5 个不同元素中有重复地取出 7 个元素的方法 数,所以不同项的个数为 . 7 C571 + − = 330 例 5.2 在展开多项式 时,项 的系数为 6 321 +− xxx )532( 2 32 3 1 xxx 5)3(2 36000 2,1,3 6 3 2 C −=××−× . 在它的展开式中不同项（合并同类项后）的个数等于从 3 个不同元素中有重复地取出 6 个元素的方法数, 所以不同项的个数为 6 C361 + − = 28. 例 5.3 现有 13 个儿童将在 3 个圆桌旁就午餐,每个圆桌旁最多能容纳 5 人.试将他们分成 3 个组,每组 人数分别为 5,4,4,则有多少种安排就餐的方法? 解 首先,考虑分组的方法数.其为 ; 54 4 CC C 13 13 5 13 5 4 − −− = 90090 其次,由于儿童是坐在圆桌旁,所以对于每一种分组的方法,儿童就座的方法数为 544 5 4 4 864 544 P P P ×× = . 于是,安排就餐的方法数为90090× = 864 77837760 . - 27 -