第一章引言 我们称上述定理中的k为射影平面(P,L)的阶数在有限射影几何中一个非常重要的核心问题是:对 给定的自然数k,k阶射影平面是否存在?如果存在,则有几种类型? 定理4.22阶射影平面是唯一的 证明由于是2阶射影平面,所以只能有7个点,不妨设点集合为{0,1,2,3,4,5,6}.因为过点1有三条 直线,不妨设它们为{1,2,4},{1,3,0},{1,6,5}.又过点2也有三条直线,而其中的一条已为{1,2,4,所以另 外的两条直线可设为{2,3,5}和{2,0,6}.由射影平面的定义,点4和点0应该决定一条直线,而且其上的另 外一点为点5.同理,点3和点4也决定一条直线,其上的另外一点为点6.则其决定的射影平面如图示: 我们很容易验证,上图与前面的Fano图形是一致的,即2阶射影平面唯 下面我们再给出3阶射影平面的图示 其中13条直线分别为{1,2,3,11},{4,5,6,11},{7,8,9,11},{1,4,7,13},{2,5,8,13} 3,6,9,13},{1,5,9,12},{2,6,7,12},{3,4,8,12},{1,6,8,10},{2,4,9,10},{3,5,7,10},{10,11,12,13} 定理43如果给定的自然数k=p",P为素数,则k阶射影平面存在 证明的方法是利用有限域上的线性空间去构造k阶射影平面我们在后面的章节会给出详细的证明 通过上述的定理,我们知道2,3,4,5,7,8,9阶射影平面是存在的,而且进一步知道,2,3,4,5,7,8阶射影 平面是唯一的,9阶射影平面至少有4种.6阶射影平面不存在.1991年加拿大的林永康( Clement lam)教 授研究小组,利用计算机证明了不存在10阶射影平面,但是严格的数学逻辑证明目前还没有.至于其它阶数 的射影平面是否存在,目前还不知到 习题 1.利用定理3(在3阶幻方图中数字5一定在中间)推导3阶幻方恰好有8个 2.试构造7、9阶幻方
第一章 引言 我们称上述定理中的 为射影平面( , 的阶数.在有限射影几何中一个非常重要的核心问题是：对 给定的自然数 , 阶射影平面是否存在？如果存在,则有几种类型？ k P L) k k 定理 4.2 2 阶射影平面是唯一的. 证明 由于是 2 阶射影平面,所以只能有 7 个点,不妨设点集合为{0,1,2,3,4,5,6}.因为过点 1 有三条 直线,不妨设它们为{1,2,4},{1,3,0},{1,6,5}.又过点 2 也有三条直线,而其中的一条已为{1,2,4},所以另 外的两条直线可设为{2,3,5}和{2,0,6}.由射影平面的定义,点 4 和点 0 应该决定一条直线,而且其上的另 外一点为点 5.同理,点 3 和点 4 也决定一条直线,其上的另外一点为点 6.则其决定的射影平面如图示： 我们很容易验证,上图与前面的 Fano 图形是一致的,即 2 阶射影平面唯一. 下面我们再给出 3 阶射影平面的图示: 其 中 13 条 直 线 分 别 为 {1,2,3,11},{4,5,6,11},{7,8,9,11},{1,4,7,13},{2,5,8,13}, {3,6,9,13},{1,5,9,12},{2,6,7,12},{3,4,8,12},{1,6,8,10},{2,4,9,10},{3,5,7,10}, {10,11,12,13}. 定理 4.3 如果给定的自然数 , n = pk p 为素数,则 k 阶射影平面存在. 证明的方法是利用有限域上的线性空间去构造 k 阶射影平面.我们在后面的章节会给出详细的证明. 通过上述的定理,我们知道 2,3,4,5,7,8,9阶射影平面是存在的,而且进一步知道,2,3,4,5,7,8阶射影 平面是唯一的,9 阶射影平面至少有 4 种.6 阶射影平面不存在.1991 年加拿大的林永康（Clement Lam）教 授研究小组,利用计算机证明了不存在 10 阶射影平面,但是严格的数学逻辑证明目前还没有.至于其它阶数 的射影平面是否存在,目前还不知到. 习题 1. 利用定理 3(在 3 阶幻方图中数字 5 一定在中间)推导 3 阶幻方恰好有 8 个. 2. 试构造 7、9 阶幻方. - - 13
第一章引言 3.试证明能否用下面的方阵构作一个4阶幻方? 2 4 4.证明在n阶幻方中将每个数字a换成n2+1-a后得到的方阵仍然是n阶幻方 5.试判断下面的图形能否一笔画出? 6.令 Fibonacci数列为{Fn}na,F6=F=1,则对于任意的正整数n有惟一的表达式 n=∑aF 其中a1=0或1,而且a1a+1=0.,12 F. F 7.令A= 则A"=gp,n>0,其中{F}n2,F5=F=1,是 Fibonacci数列 8.证明3阶射影平面是唯一的 9证明在5阶幻方中,数字13一定在中间位置,即 10.试利用4阶幻方构造一个不同于书中给出的6阶幻方 11.素数幻方是指添入幻方中的数均为素数试构造一个3阶素数幻方 12.任意给定正整数m,证明在斐波那契数列中一定可以找到m的整倍数 13.在巴黎,有一条河,河的中心有两个小岛,有15座桥将两个小岛和两岸联结起来.一个人是否可以从一岸 出发,使所有的桥都只能走一次而达到另外的一岸(见下图示)
第一章 引言 3. 试证明能否用下面的方阵构作一个 4 阶幻方? 2 3 4 4. 证明在 阶幻方中将每个数字 换成 后得到的方阵仍然是 n a 1−+ an 阶幻方. 2 n 5. 试判断下面的图形能否一笔画出? 6. 令 Fibonacci 数列为 ,则对于任意的正整数 有惟一的表达式 10 1 {}, 1 F FF n n≥ = = n 1 i i i n a ∞ = = ∑ F , 其中 0 或 1,而且 . i a = 1 0, 1 i i aa i + = ≥ 7.令 1 1 1 0 A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ,则 0 1 1 , n n n n n F F A n F F + − ⎛ ⎞ = > ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ,其中 10 1 {}, 1 F FF n n≥ = = ,是 Fibonacci 数列. 8.证明 3 阶射影平面是唯一的. 9.证明在 5 阶幻方中,数字 13 一定在中间位置,即 13 10.试利用 4 阶幻方构造一个不同于书中给出的 6 阶幻方. 11.素数幻方是指添入幻方中的数均为素数.试构造一个 3 阶素数幻方. 12.任意给定正整数 m ,证明在斐波那契数列中一定可以找到 m 的整倍数. 13.在巴黎,有一条河,河的中心有两个小岛,有 15 座桥将两个小岛和两岸联结起来.一个人是否可以从一岸 出发,使所有的桥都只能走一次而达到另外的一岸(见下图示). - - 14
第一章引言 15-
第一章 引言 - - 15
第二章多项式定理及其应用 第二章多项式定理及其应用 1、排列、组合的概念 排列与组合是初等数学中一段独特的内容,它是数学研究的重要基础之一,它对于我们进一步学习数 学和其它相关的学科有着十分重要的作用.在这里我们只引进一些必要的概念,至于排列与组合数的进 步性质可以参看有关的其它书籍. 定义集合A的一个排列是指集合A中元素的一个有序选出,当R是对排列的限制条件时,我们把这 样的排列称为R-排列 常见的排列有下面两种: 1、从n个不相同的元素里,每次取出m个全不相同的元素进行排列.这样的排列叫做相异元素不许重 复的排列我们用P表示这种排列的种数,其个数为一n 事实上,我们选取第一个元素有n种选择;由于元素的选取不能重复,所以第二个元素只能在余下的 n-1个元素中选取,即第二个元素有n-1种选择;…;第m个元素有n-(m-1)=n-m+1种选择.于是 m个元素的排列取法数为n(n-1)…(n-m+)=_n 例如,设S={1,2,34}.计算从S中取出2个不同元素进行排列的方法数直接列出 2,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43 共有12种 2、从n个不相同的元素里,每次取出m个全不相同的元素,并且将这些元素放在圆周上进行排列,即排 列好的元素列没有头尾,则其排列的个数为= 事实上,对于这种形式的排列,我们可以分两步进行.首先,从n个不相同的元素里,取出m个全不相 同的元素进行排列,此时的排列方法数为Pm.其次,考虑放在圆周上的问题.如果设取出的一个排列为 (a1,a2,…,an),则当我们将其中元素轮换,然后放置在圆周上时,得到的排列是一样的.另外,要想得到同 样的圆周上的排列,也必定是只差轮换的排列.而对于有m个元素的排列只有m种轮换,所以排列的个数 为 m(n-m) 例如(a12a2…,an)=(a2a3,…,an2a1)=
第二章 多项式定理及其应用 第二章 多项式定理及其应用 1、 排列、组合的概念 排列与组合是初等数学中一段独特的内容,它是数学研究的重要基础之一,它对于我们进一步学习数 学和其它相关的学科有着十分重要的作用.在这里我们只引进一些必要的概念,至于排列与组合数的进一 步性质可以参看有关的其它书籍. 定义 集合 A 的一个排列是指集合 A 中元素的一个有序选出,当 R 是对排列的限制条件时,我们把这 样的排列称为 R -排列. 常见的排列有下面两种： 1、从 n 个不相同的元素里,每次取出 m 个全不相同的元素进行排列.这样的排列叫做相异元素不许重 复的排列.我们用 表示这种排列的种数,其个数为 m Pn ( )! ! mn n − . 事实上,我们选取第一个元素有 种选择;由于元素的选取不能重复,所以第二个元素只能在余下的 个元素中选取,即第二个元素有 种选择;";第 个元素有 n n −1 n −1 m n m nm − ( 1) − =− +1种选择.于是 m 个元素的排列取法数为 ! ( 1) ( 1) ( )! nn n m n m − −+= " n − . 例如,设 S = }4,3,2,1{ .计算从 S 中取出 2 个不同元素进行排列的方法数.直接列出 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43, 共有 12 种. 2、从 个不相同的元素里,每次取出 m 个全不相同的元素,并且将这些元素放在圆周上进行排列,即排 列好的元素列没有头尾,则其排列的个数为 n ! ( ) m n ! n m mnm = ⋅ − P . 事实上,对于这种形式的排列,我们可以分两步进行.首先, 从 个不相同的元素里,取出 个全不相 同的元素进行排列,此时的排列方法数为 .其次,考虑放在圆周上的问题.如果设取出的一个排列为 ,则当我们将其中元素轮换,然后放置在圆周上时,得到的排列是一样的.另外,要想得到同 样的圆周上的排列,也必定是只差轮换的排列.而对于有 m 个元素的排列只有 m 种轮换,所以排列的个数 为 n m m Pn 1 2 (, , , ) aa a " m ! ( ) m Pn n m mnm = ⋅ − ! " . 例如 1 2 23 1 (, , , ) (, , , ,) aa a a a a a " " m m = = - 16 -
第二章多项式定理及其应用 3、从n个不相同的元素里,每次取出m个元素(可以重复)的排列.这样的排列叫做相异元素可重复 的排列,其个数为n 事实上,由于每个元素都有n种选择,所以m个元素的排列取法数为n 例如,设S={2,3,4}.计算从S中取出2个元素(可以有重复取)进行排列的方法数.直接列出 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,11,22,33,4 共有16种 研究排列的主要目的,是求出根据已知条件所能作出的不同排列的排列种数.对于比较简单的排列问 题,可以把所有不同的排列全部列举出来,然后数出它们的种数.但是这种方法过于繁琐.为简化问题,们 总结出两个非常有用而又直观的原则 加法原则(原理)如果我们完成事件X的方法共有x种,而完成事件Y的方法有y种,则我们完成事 件X或事件Y的方法数为x+y 乘法原则(原理)如果我们完成事件X的方法共有x种,而完成事件Y(不同于X)的方法有y种, 则我们完成事件X和事件Y的方法数为xy 注意加法和乘法原则都可以推广到多于两个事件的情况 我们利用加法和乘法原理,再计算前面的两个例子.设S={1,2,3,4}.首先,计算从中取出2个不同元 素进行排列的方法数 第1步,取出的2个元素中有数字1的排列方法数是3×2=6 第2步,取出的2个元素中有数2(不能再有数字1了)的排列方法数是2×2=4 第3步,取出的2个元素中有数3(不能有数字1,2了)的排列方法数是1×2=2. 所以,总的排列方法数是6+42=12 其次,考虑从中取出2个元素(可以重复取)的排列方法数 第1步,取出的2个元素中有数字1(只有1可能重复)的排列方法数是1+3×2=7 第2步,取出的2个元素中有数字2(不能再有1了,且只有2可能重复)的排列方法数是1+2×2=5 第3步,取出的2个元素中有数字3(不能有数字1,2了,且只有3可能重复)的排列方法数是1+1×2=3 第4步,取出的数只有4,即排列的方法数是1 所以,总的排列方法数是7+5+3+1=16 定义集合A的一个组合是指集合A中元素的一个无序选出,当R是对组合的限制条件时,我们把这 样的组合称为R-组合 常见的组合有下面两种 1、从n个不相同的元素里,每次取出m个全不相同的元素进行组合.这样的组合叫做相异元素不许重 17
第二章 多项式定理及其应用 3、从 n 个不相同的元素里,每次取出 m 个元素（可以重复）的排列.这样的排列叫做相异元素可重复 的排列,其个数为 . m n 事实上,由于每个元素都有 n 种选择,所以 m 个元素的排列取法数为 . m n 例如, 设 S = }4,3,2,1{ .计算从 S 中取出 2 个元素(可以有重复取)进行排列的方法数.直接列出 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,11,22,33,44, 共有 16 种. 研究排列的主要目的,是求出根据已知条件所能作出的不同排列的排列种数.对于比较简单的排列问 题,可以把所有不同的排列全部列举出来,然后数出它们的种数.但是这种方法过于繁琐.为简化问题,人们 总结出两个非常有用而又直观的原则： 加法原则(原理) 如果我们完成事件 X 的方法共有 x 种,而完成事件Y 的方法有 y 种,则我们完成事 件 X 或事件Y 的方法数为 x + y . 乘法原则(原理) 如果我们完成事件 X 的方法共有 x 种,而完成事件Y （不同于 X ）的方法有 y 种, 则我们完成事件 X 和事件Y 的方法数为 xy . 注意 加法和乘法原则都可以推广到多于两个事件的情况. 我们利用加法和乘法原理,再计算前面的两个例子. 设 S = }4,3,2,1{ .首先,计算从中取出 2 个不同元 素进行排列的方法数. 第 1 步,取出的 2 个元素中有数字 1 的排列方法数是 × 23 =6; 第 2 步,取出的 2 个元素中有数 2(不能再有数字 1 了)的排列方法数是 × 22 =4; 第 3 步,取出的 2 个元素中有数 3(不能有数字 1,2 了)的排列方法数是 × 21 =2. 所以,总的排列方法数是 6+4+2=12. 其次,考虑从中取出 2 个元素(可以重复取)的排列方法数. 第 1 步,取出的 2 个元素中有数字 1(只有 1 可能重复)的排列方法数是 1+ × 23 =7; 第 2 步,取出的 2 个元素中有数字 2(不能再有 1 了,且只有 2 可能重复)的排列方法数是 1+ × 22 =5; 第 3步,取出的 2个元素中有数字 3(不能有数字 1,2了,且只有 3可能重复)的排列方法数是 1+ × 21 =3; 第 4 步,取出的数只有 4,即排列的方法数是 1. 所以,总的排列方法数是 7+5+3+1=16. 定义 集合 A 的一个组合是指集合 A 中元素的一个无序选出,当 R 是对组合的限制条件时,我们把这 样的组合称为 R -组合. 常见的组合有下面两种： 1、从 n 个不相同的元素里,每次取出m 个全不相同的元素进行组合.这样的组合叫做相异元素不许重 - 17 -