第一章引言 现在我们利用杨辉使用过的方法构造5阶纵横图: 22 18 14 10 19 12258 22 181|14 1225816 175|13219 10181|142 236192|15
第一章 引言 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 现在我们利用杨辉使用过的方法构造 5 阶纵横图： 1 6 2 11 7 3 16 12 8 4 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 19 15 24 20 25 6 2 11 7 3 16 12 25 8 4 21 17 13 9 5 22 18 1 14 10 23 19 15 24 20 11 24 7 20 3 16 12 25 8 4 21 17 13 9 5 22 18 1 14 10 23 6 19 2 15 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15 - - 3
第一章引言 我们可以利用构造3、5阶幻方的方法构造奇数阶幻方,即m(=2k+1)阶幻方存在 对于偶数阶幻方存在性的构造方法,我们将分两种情形进行介绍.首先,考虑阶数n=4k时的构造方法 -对角线方法.此时我们完全可以仿照前面4阶幻方的构造技巧,构造n=4k阶幻方.在此仅以8阶幻方为 例说明对角线构造方法 下面的图示可以说明8阶幻方是如何得到的 2|3 6067 9 12135 2021 29 注记:在上图中将主对角线及斜对角线上的元素对称换位,短线上的元素逆时针方向移动8个格,则可 以得到按数字顺序添画的图 53637383940 4142434445464748 其次,我们介绍阶数n=4k+2时幻方的构造方法.在研究幻方的历史中,一个很有意思的现象是,人们 很早就掌握了奇数阶和阶数n=4k的幻方的构造方法,而阶数n=4k+2的幻方的构造方法是直到1918年 才由数学家R 在此我们仅以6,10阶为例说明构造的方法.容易验证下面的图是一个6阶幻方 319222272 2833171015
第一章 引言 我们可以利用构造 3、5 阶幻方的方法构造奇数阶幻方,即 n k ( 2 1) = + 阶幻方存在. 对于偶数阶幻方存在性的构造方法,我们将分两种情形进行介绍.首先,考虑阶数 时的构造方法 ---对角线方法.此时我们完全可以仿照前面 4 阶幻方的构造技巧,构造 n = 4k n = 4k 阶幻方.在此仅以 8 阶幻方为 例说明对角线构造方法. 下面的图示可以说明 8 阶幻方是如何得到的. 64 2 3 61 60 6 7 57 9 55 54 12 13 51 50 16 17 47 46 20 21 43 42 24 40 26 27 37 36 30 31 33 32 34 35 29 28 38 39 25 41 23 22 44 45 19 18 48 49 15 14 52 53 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1 注记：在上图中将主对角线及斜对角线上的元素对称换位,短线上的元素逆时针方向移动 8 个格,则可 以得到按数字顺序添画的图: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 其次,我们介绍阶数 n k = 4 + 2时幻方的构造方法.在研究幻方的历史中,一个很有意思的现象是,人们 很早就掌握了奇数阶和阶数 n = 4k 的幻方的构造方法,而阶数 n k = 4 + 2的幻方的构造方法是直到 1918年 才由数学家 R.Strachey 给出. 在此我们仅以 6,10 阶为例说明构造的方法.容易验证下面的图是一个 6 阶幻方 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 - - 4
第一章引言 30534121416 43629131811 下面我们说明上面的6阶幻方是如何得到的 首先,将6×6的方格图形分成4个区域:A,B,C,D,其中的每个区域由3×3的方格组成,如图 其次,令a=n63,然后分别用数字1…32=9:32+1=10,…,2×32=18 2×32+1=19,…,3×32=27;3×32+1=28…,4×32=36构造3阶幻方添入A,B,C,D4个区域 357212325 492‖222720 21416 313629131811 最后,第一步,在A区的中间一行选定第2个元素,在A区其它行选定第一个元素;第二步,在D区选定 与A区相应位置的元素;第三步,调换A区和D区中选定的对应元素 3516261924 30534121416 让我们再看一下10阶幻方的构造过程 首先,分区,每个区域是由5×5的方格组成
第一章 引言 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11 下面我们说明上面的 6 阶幻方是如何得到的. 首先,将6 6 × 的方格图形分成 4 个区域: ABCD ,,, ,其中的每个区域由3 3 × 的方格组成,如图 A C D B 其次,令 6 3 2 2 n a === ,然后分别用数字 2 1, ,3 9 " = ; ; ; 构造 3 阶幻方添入 4 个区域; 2 2 3 1 10, , 2 3 18 += × = " 2 2 2 3 1 19, ,3 3 27 × += × = " 2 3 3 1 28, ,4 3 36 × += × = " 2 ABCD ,,, 8 1 6 26 19 24 3 5 7 21 23 25 4 9 2 22 27 20 35 28 33 17 10 15 30 32 34 12 14 16 31 36 29 13 18 11 最后,第一步,在 区的中间一行选定第 2 个元素,在 区其它行选定第一个元素;第二步,在 区选定 与 区相应位置的元素;第三步,调换 区和 区中选定的对应元素. A A D A A D 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11 让我们再看一下 10 阶幻方的构造过程. 首先,分区,每个区域是由5×5的方格组成; - - 5
第一章引言 其次,令a=”,然后分别用数字1…,a2;a2+1…,2×a2;2xa2+1…,3×a2:3×a2+ 构造5阶幻方添入A,B,C,D4个区域 235714161735557646 10|12|19213|60|62|697153 111825296168755259 92997683904249263340 98|80828991148|303239 93100 8436435027 最后,第一步,在A区的中间一行从第2个元素始选定k(n=4k+2)个元素,在A区其它行从第一个 元素始选定k个元素;第二步,在D区选定与A区相应位置的元素;第三步,在C区的最后一列开始,在每 行选定k-1个元素,在B区选定与C区相应位置的元素;调换A区和D区,B区与C区中选定的对应元 98807141673555764 8x|1923s0e69128 8693|252961687552134 172476839042492633|65 796139597|29311384512 111810077843643502759 事实上,关于阶数为奇数的幻方,我们完全可以采用杨辉的构造方法得到由于我们可以将整数按与整 数4的关系分成4类:4k,4k+1,4+2,4k+3,k∈Z.而其中的两类数为奇数,其中的一类为4的倍数,余 下的一类为余数是2的偶数.所以通过上面的构造过成,我们得到 定理1.1如果n≥3,则n阶幻方是存在的 定理1.22阶幻方不存在
第一章 引言 A C D B 其次,令 2 n a = ,然后分别用数字 ; 2 1, , " a 2 2 a a +1, , 2 " × ; 2 2 2 1, ,3 ×a a + × " ; 构造 5 阶幻方添入 4 个区域; 2 2 3 1, , 4 ×+ × a a " ABCD ,,, 17 24 1 8 15 67 74 51 58 65 23 5 7 14 16 73 55 57 64 66 4 6 13 20 22 54 56 63 70 72 10 12 19 21 3 60 62 69 71 53 11 18 25 2 9 61 68 75 52 59 92 99 76 83 90 42 49 26 33 40 98 80 82 89 91 48 30 32 39 41 79 81 88 95 97 29 31 38 45 47 85 87 94 96 78 35 37 44 46 28 86 93 100 77 84 36 43 50 27 34 最后,第一步,在 A 区的中间一行从第 2 个元素始选定 ( k n k = 4 + 2 )个元素,在 区其它行从第一个 元素始选定 个元素;第二步,在 区选定与 区相应位置的元素;第三步,在C 区的最后一列开始,在每 行选定 个元素, 在 A k D A k −1 B 区选定与C 区相应位置的元素;调换 区和 区, A D B 区与C 区中选定的对应元 素. 92 99 1 8 15 67 74 51 58 40 98 80 7 14 16 73 55 57 64 41 4 81 88 20 22 54 56 63 70 47 85 87 19 21 3 60 62 69 71 28 86 93 25 2 9 61 68 75 52 34 17 24 76 83 90 42 49 26 33 65 23 5 82 89 91 48 30 32 39 66 79 6 13 95 97 29 31 38 45 72 10 12 94 96 78 35 37 44 46 53 11 18 100 77 84 36 43 50 27 59 事实上,关于阶数为奇数的幻方,我们完全可以采用杨辉的构造方法得到.由于我们可以将整数按与整 数 4 的关系分成 4 类: .而其中的两类数为奇数,其中的一类为 4 的倍数,余 下的一类为余数是 2 的偶数.所以通过上面的构造过成,我们得到 4 ,4 1,4 2,4 3, kk k k kZ + + +∈ 定理 1.1 如果 n ≥ 3 ,则 n 阶幻方是存在的. 定理 1.2 2 阶幻方不存在. - - 6
第一章引言 证明假设存在2阶幻方,设其形如下图 a3 a4 则由2阶幻方的定义,a1,a2,a3,a4,应该满足下面的条件:1≤a≤4,其中i=12,34.而且a≠a,当 i≠j时.又应该有 a1+a2=a3 将上面两式整理,得到a2-a3=a3-a2,即a2=a3,矛盾 定理1.3如果n阶幻方存在,则在n阶幻方中每行、每列、对角线及斜对角线上整数的和为 n2+1) 证明由于n阶幻方中所有整数的和是1+2++2:(2+,所以n阶幻方中每行、每列及对角 (n2+1) 线上整数的和恰为—2 n(m2+) 定理1.4在3阶幻方中数字5一定在中间,既 证明假设添出的3阶幻方为 其中1≤a,≤9,a 则 +a4+ao=15 a2+a4+a8=15 a4+a。=15
第一章 引言 证明 假设存在 2 阶幻方,设其形如下图 1 a 2 a a3 4 a 则由 2 阶幻方的定义, 1 a , 2 a , a3 , 4 a ,应该满足下面的条件： ≤ ai ≤ 41 ,其中i = 4,3,2,1 .而且 ≠ aa ji 当 i ≠ j 时.又应该有 4231 4321 aaaa aaaa +=+ + = + , 将上面两式整理,得到 −=− aaaa 2332 ,即 = aa 32 ,矛盾. 定理 1.3 如果 n 阶幻方存在,则在n 阶幻方中每行、每列、对角线及斜对角线上整数的和为 ( ) 2 1 2 nn + . 证明 由于 n 阶幻方中所有整数的和是 2 1 2 + + + " n = ( ) 2 1 22 nn + ,所以 阶幻方中每行、每列及对角 线上整数的和恰为 n 2 2 ( 1) 2 n n n + ( ) = 2 1 2 nn + . 定理 1.4 在 3 阶幻方中数字 5 一定在中间,既 5 证明 假设添出的 3 阶幻方为 a1 a2 a3 4 a a5 a6 a7 a8 其中 ≤≤ 91 , .则 ai ≠ aa ji ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ =++ 15 15 15 15 654 753 852 951 aaa aaa aaa aaa , a9 - - 7