ao=)dx ,/ecoskxdk-2,oskxdr+ owaoardsAa8nd + ak"cos2 kxdx =a (利用正交性) )coskxdx (k=1,2.) 类似地，用sinx乘①式两边，再逐项积分可得 6=日，)sinkxdx&=12 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
= + − − kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d 0 = + n 1 + − a kx nx x n cos cos d b kx nx x n cos sin d − a kx x k cos d 2 − = a f x kx x k ( )cos d 1 − = ( k =1, 2, ) (利用正交性) ( )sin d ( 1, 2, ) 1 = = − b f x kx x k k a f (x)d x 1 0 − = 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f)-+(a.s+hsn） 00 ① n= f)cosdx (.1. =f()sinnxdx (n=1.2.) 由公式②确定的an,b,称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 ∫(x)的傅里叶级数 傅里叶，.B. HIGH EDUCATION PRESS DeOC8 傅里叶目录上页下页返回结束
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( ) = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = = ( )cos d ( 0,1, ) 1 an f x nx x n 由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = = ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x nx x n 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束
定理收敛定理，展开定理) 设f(x)是周期为2元的 周期函数，并满足狄利克雷(Dirichlet)条件： 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， 2)在一个周期内只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛，且有 注意：函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 n 的条件低得多 -a f(x). x为连续点 x为间断点 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数，（证明略） HIGH EDUCATION PRESS 简介目 上页下页返回结束
定理 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设fx)是周期为2π的周期函数，它在【-π，π) 上的表达式为 ro-fhi π≤x<0 sx< 将f(x)展成傅里叶级数 解：先求傅里叶系数 comdx -2-+号01-ewxd =0 (n=0,1,2,.） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 − − = x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数 = − + − 0 0 1 cos d 1 ( 1)cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(-)sin mdx+ ]+g-w时 -r1- 当n=1,3,5,. 当n=2,4,6,. (-0<x<+0,x≠0，±π，±2π，.) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
= − + − 0 0 1 sin d 1 ( 1)sin d 1 nx x nx x 0 1 cos − = n nx 0 1 cos − + n nx n n 1 cos 2 = − n n 1 ( 1) 2 = − − = , 4 n 0 , 当n =1, 3 , 5 , 当n = 2 , 4 , 6 , f x = sin x + 4 ( ) sin 3x + 3 1 − + − + k x k sin(2 1) 2 1 1 (− x + , x 0 , , 2 , ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束