定理可以引申为 设S,是任意一个的随机过程其相应的期望存在, 则在有限的间隔t内,有 Sk -ski= EkIsk-skltokAWk 其中△W在间隔开始给出信息的情况下是不可测的 三、随机微分等式 为构建时间连续的随机微分等式,对上式右边 第一项进行估计: EI[S-S1]是一个资产价格变化的预期,其变 首页 化的大小取决于最近的信息集和所 考虑的时间间隔的长度
其中 在间隔开始给出信息的情况下是不可测的 设 是任意一个的随机过程 定理可以引申为 St 其相应的期望存在， 则在有限的间隔 t 内，有 Sk − Sk− = Ek− Sk − Sk− + k Wk [ ] 1 1 1 Wk 三、随机微分等式 为构建时间连续的随机微分等式，对上式右边 第一项进行估计： [ ] Ek−1 Sk − Sk−1 是一个资产价格变化的预期，其变 化的大小取决于最近的信息集和所 首页 考虑的时间间隔的长度
它可写成 E k-1Lk k-1 k-15 如果A(·)是h的光滑函数,它在h=0的泰勒展开式为 A(k=1,h)=A(k=10)+a(k1)h+R(k=1,h) 其中a(k21)是在h=0时A(k12h)劝求的一阶导数 R(k1,h)是泰勒展开式的余项。 如果h=0时间就会跳过,并且在资产价格的预 测变化就是0。即4(k10)=0 同普通微分一样,处理随机微分 等式时余项可忽略不计,即R(k=12h)=0 故 ES-S1=a(1k,kbh首页
它可写成 [ ] ( , ) Ek−1 Sk − Sk−1 = A I k−1 h 如果 A(•) 是h 的光滑函数，它在h = 0 的泰勒展开式为 ( , ) ( ,0) ( ) ( , ) A I k−1 h = A I k−1 + a I k−1 h + R I k−1 h 其中 ( ) k−1 a I 是在h = 0 时 ( , ) A I k−1 h 对h 求的一阶导数。 ( , ) R I k−1 h 是泰勒展开式的余项。 如果 h = 0 时间就会跳过，并且在资产价格的预 测变化就是0。即 A(I k−1 ,0) = 0 同普通微分一样，处理随机微分 等式时余项可忽略不计，即 R(I k−1 ,h) 0 故 Ek−1 [Sk − Sk−1 ] a(I k−1 , k h)h 首页
从而有 kh (k-1)h alk kh)h+oklWk-Wk-lhI 令h→0得 首页 ds(t)=a(l, t)dt +o,dw(t) 即为随机微分等式 其中a(l1,)是漂移项,可,扩散项。 返回
其中 是漂移项， 扩散项。 从而有 令 得 即为随机微分等式。 ( , ) [ ] kh (k 1)h k 1 h k Wkh W(k 1)h S − S − = a I − k h + − − h →0 dS(t) a(I ,t)dt dW(t) = t + t a(I ,t) t t 返回 首页
第二节两个一般模型 维纳过程 在连续时间下,正常事件可用维纳过程或 布朗运动来建模 (一)讨论维纳过程的方法 1设一个随机变量△W 0=tn<t1<…t,=T 在某一瞬时,只可能出现√h或-√h两个值之 且△与△W独立(≠j),则当n→>∞有 首页 W=∑△W弱收敛于一个维纳过程
第二节 两个一般模型 一、维纳过程 在连续时间下，正常事件可用维纳过程或 布朗运动来建模. （一）讨论维纳过程的方法 1 设一个随机变量 i Wt 0 = t 0 t 1 t n = T t i −t i−1 = h i Wt 与 j Wt 独立（i j ）， 在某一瞬时，只可能出现 h 或− h 两个值之一 = = n i t t W n W i 1 且 则当 有 弱收敛于一个维纳过程 n → 首页
说明维纳过程是在概率意义下,对独立同分布的随 机变量的总和求极限得到的,而这些增量的可 能出现的结果,当h→>0时会变得越来越小。 可知维纳过程服从高斯(正态)分布 2把维纳过程视为一个连续的平方可积鞅来进行分析 设W为一具有有限方差的连续过程, 且在给定信息集}下,具有不可预测的增量, 则W的增量服从均值为0、方差为a2d的正态分布 即W,是一维纳过程 首页
设 为一具有有限方差的连续过程， 说明 维纳过程是在概率意义下，对独立同分布的随 机变量的总和求极限得到的，而这些增量的可 能出现的结果，当 时会变得越来越小。 可知维纳过程服从高斯（正态）分布。 2 把维纳过程视为一个连续的平方可积鞅来进行分析 h →0 Wt 且在给定信息集 I t 下，具有不可预测的增量， 则Wt 的增量服从均值为 0、方差为 dt 2 的正态分布 即 Wt 是一维纳过程 首页