第八章随机积分一Ito积分 第一节引言 第二节Ito积分的理论 第三节Ito积分的特征 第四节Ito定理及应用 第五节更复杂情况下的It0公式
第八章 随机积分 — Ito积分 第一节 引 言 第二节 Ito积分的理论 第三节 Ito积分的特征 第四节 Ito定理及应用 第五节 更复杂情况下的Ito公式
第一节引言 、Ito积分的导出 在物理现象中是用微分方程来描述其模型, 而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微 分与积分的关系,建立相应的积分方程。 但在随机环境中,由于不可预测的“消息”不 断出现,并且表示现象动态性的等式是这些噪音的 函数,这就无法定义一个有效的导数,建立一个微 分方程。然而,在某些条件下可以定义一个积分 Ito积分,建立积分方程。 首页
第一节 引 言 一、 Ito积分的导出 在物理现象中是用微分方程来描述其模型， 而建立微分方程是从导数定义出发。并可根据微 分与积分的关系，建立相应的积分方程。 但在随机环境中，由于不可预测的“消息”不 断出现，并且表示现象动态性的等式是这些噪音的 函数，这就无法定义一个有效的导数，建立一个微 分方程。然而，在某些条件下可以定义一个积分— Ito积分，建立积分方程。 首页
前面讨论的随机微分等式,其中的项dS、W 都只是近似讨论,而没给出精确的解释。但如果给出 Ito积分的定义,反过来才能更确切地讨论。 即若用微分方程 ds, =a(s, t )dt+o(s,, t)dw, 代表资产价格S,的动态行为,那么能否对两边取 积分,即 nds,=a(su, u)du+ o(su, u)dw 也就是说,是否等式右边第二项的积分有意义? 为解释此项积分的含义,需引进Ito积分 首页
前面讨论的随机微分等式，其中的项 都只是近似讨论，而没给出精确的解释。但如果给出 Ito积分的定义，反过来才能更确切地讨论。 即若用微分方程 代表资产价格 的动态行为， 那么能否对两边取 积分，即 ( , ) ( , ) , t t t dWt dS = a S t dt + S t t S u t u t u t dSu a(S ,u)du (S ,u)dW 0 0 0 = + 也就是说，是否等式右边第二项的积分有意义？ 为解释此项积分的含义，需引进Ito积分 dSt 、dWt 首页
也就是说,一旦定义Ito积分,则上积分等式才有意义 即有S4-S2=「"as.)+"a(s,m)m,首页 其中h为一定的时间间隔。 若a(S2)和o(S,)是S和u的平滑函数, 即当h很小,它们在a∈[t,t+小内变化都不大 则上等式改写为 Sith-S,=a(S, of du+(S, of dwu Suh-S=a(s,,th+o(s,, tlWh-WI 或△S=a(S1,Dh+o(S2D)△W 这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式
也就是说，一旦定义Ito积分，则上积分等式才有意义 即有 其中h为一定的时间间隔。 若 则上等式改写为 u t h t u t h t St h St a(Su ,u)du (S ,u)dW + + + − = + + + + − + t h t t u t h t St h St a(St ,t) du (S ,t) dW 即 ( , ) ( , )[ ] t h t t t Wt h Wt S + − S a S t h + S t + − 或 t t t Wt S a(S ,t)h +(S ,t) 这正是在固定间隔下的随机微分方程表示式 a(S ,u) u 和 (S ,u) u 是Su 和 u 的平滑函数， 即当 h 很小，它们在u [t,t + h] 内变化都不大 首页
此表示式为一近似式,其精确公式为 ds,=a(s,, t )dt +o(S,, t)dw 二、Ito积分的重要性 首先随机微分方程只能根据o积分方程来定义,要 理解随机微分方程的真正含义,必须首先理解 Ito积分。 其次在实际运用当中,经常先用固定的时间间隔, 得出随机微分方程的近似值,然后再通过Ito积 分就可以给出近似值的精确形式。 首页 返回
此表示式为一近似式，其精确公式为 t t t dWt dS = a(S ,t)dt +(S ,t) 二、Ito积分的重要性 首先 随机微分方程只能根据Ito积分方程来定义，要 理解随机微分方程的真正含义，必须首先理解 Ito积分。 其次 在实际运用当中，经常先用固定的时间间隔， 得出随机微分方程的近似值，然后再通过Ito积 分就可以给出近似值的精确形式。 首页 返回