拉氏变换习题解答 习题 求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果 (1)f()=sin:(2)f()=c;(3)f(1)=t2 (4)f()=sintcost (5)f()=sinh kt: (6)f(=coshkt: (7)f()=cos t; (10)f()=cost 解)df(O)=-lsin2e-"b= e -s+1 2 2 4s2 (5 a[(O]=∫ree"feh= -(S+2)s+2 (Res>-2) (3)a[(o]=te"dr + 2te- dt 2+ dt (4)sf(r) sin t cos tedt sin 2te dt= 6d-shoch2C-c“m={h-c) {k k stk 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 拉氏变换习题解答 习题一 1．求下列函数的拉氏变换 ,并用查表的方法来验证结果. (1) ( ) sin 2t f t = ； (2) ( ) 2 t f t e − = ； (3) ( ) 2 f t = t ； (4) f ( )t = si n t cos t ； (5) f ( )t = sinh kt ； ( 6 ) f ( )t k = cosh t ； (7) ( ) 2 f t = cos t ; (10) ( ) 2 f t t = cos . 解 (1) & ( ) i i 2 2 0 0 ( ) sin 2 2 i t t st st t e e e f t e dt dt − − +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ i i ( ) ( ) 2 2 0 1 ( ) 2i s t s t e e dt +∞ − − − + = − ∫ i i ( ) ( ) 2 2 1 0 0 2i i i 2 2 | | s t s t e e s s ⎡ − − +∞ + − + ∞ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ − + − − ⎥ ⎣ ⎦ i i 1 1 1 1 2 2 2i i i 2i i i 2 2 2 2 s s s s s s ⎡ ⎤ + − + ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ = ⎛ ⎞⎛ ⎢ ⎥ − + ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎞⎟⎠ ( ) 2 2 1 2 2 Re 0 1 4 1 4 s s s = = > + + (2) & ( ) 2 ( 2 ) 0 0 t s t s t f t e e d t e +∞ +∞ − − − + ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ d t ( ) ( 2 ) 0 1 Re 2 ( 2 ) 2 | s t e s s s +∞ − + = = > − + + − (3) & ( ) 2 2 0 0 0 1 | 2 st st e st f t t e dt t t e dt s s − +∞ +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = − + ⎣ ⎦ ∫ ∫ 2 2 0 0 2 2 | st s t te e dt s s +∞ +∞ − − = − + ∫ ( ) 3 2 0 2 2 | Re 0 st t e s s s +∞ − = = − = > (4) & ( ) 0 0 1 sin cos sin 2 2 st s t f t t te dt te dt +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( 2 i ) ( 2 i ) 0 1 4i s t s t e e dt +∞ − − − + = ⎡ ⎤ − ∫ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ − + − − − = +∞ − + +∞ − − 4 i 2 i 2 i 1 | | 0 ( 2i) 0 ( 2i) s e s e s t s t ( ) Re 0 4 1 2 i 1 2 i 1 4 i 1 2 > + ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + − − = s s s s (5) & ( ) 0 0 sinh 2 kt kt st e e st f t kt e dt e dt − +∞ +∞ − − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 12 s k t s k t e dt e dt +∞ +∞ − − − + = − ∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 2 ( ) ( ) | | s k t s k t e e s k s k +∞ +∞ ⎛ ⎞ − − − + ⎜ ⎟ = − − − − + ⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 1 1 Re m a x { , } 2 k s k s k s k s k ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ = > − ⎝ ⎠ − + − k - 1 -
(6)[5()]= cosh kte"dt=J. -(s-k)r (s+k) 1 k s-ks+k丿s2-k2 (Res> max(k,-k) (S+ o(-9h=2(+l2b COS 2r.e-5 ss2+4丿s(s2+4) s()-5sn"th=20(-c02y cos 2t-e dt 2(ss2+4人s2+4) (Res>o 2.求下列函数的拉氏变换 0≤t<2 (1)f()= 2≤t<4 2)f() 丌 (3)f()=e2+56() (4)(=8()cost-u()sint (2)elr(]r red F3e"dt +f cost-e"dr 2e=-e2+(e"+e e++e 33=+1 3_3e2 (s-1)-(s+1) S+1 (3)/()=Cp+5d"cc"m+5列0“h 5s-9 (4)<[(]=8() cost.e"dt- sin te"dt=cost e" s2+1s2+1 设∫()是以2z为周期的函数且在一个周期内的表达式为 ()={m,0≤x,求Li 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ (6) & ( ) 0 0 co s h 2 kt kt st e e st f t kt e dt e dt − +∞ +∞ − − + ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 12 s k t s k t e dt e dt +∞ +∞ − − − + = + ∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 2 ( ) ( ) | | s k t s k t e e s k s k +∞ +∞ ⎛ ⎞ − − − + ⎜ ⎟ = + − − − + ⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 1 1 Re m ax{ , } 2 s s k s k s k s k ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = > − ⎝ ⎠ − + − k (7) & ( ) ( ) 2 0 0 1 cos 1 cos 2 2 st s t f t t e dt t e dt +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = ⋅ = + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = + ⋅ ∫ ∫ +∞ − +∞ − e dt t e dt st st 0 0 cos 2 21 ( ) Re 0 ( 4) 2 4 1 21 22 2 > ++ ⎟ =⎠⎞ ⎜⎝⎛ + = + s s ss s s s (8) & ( ) ( ) 2 0 0 1 sin 1 cos 2 2 st st f t t e dt t +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = ⋅ = − ⎣ ⎦ ∫ ∫ e dt ( 0 0 ) 1 co s 2 2 st st e dt t e dt +∞ +∞ − − = − ⋅ ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 2 Re 0 2 4 ( 4 ) s s s s s s ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − = > ⎝ ⎠ + + 2．求下列函数的拉氏变换. (1) ( ) ; ( 2 ) ( ) 4 . 2 4 0 2 0 ,1 , 3 , ≥≤ < ≤ < ⎪⎩⎪⎨⎧ = − t tt f t . 22 cos , 3 , ππ >< ⎩⎨⎧ = tt t f t (3) ( ) 5 ( ). ; ( 4 ) 2 f t e t t = + δ f ( t ) = δ ( t )cos t − u ( t )sin t . 解 （ 1 ） &[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ − +∞ − − = = − 4 0 2 20 f t f t e dt 3 e dt e dt st st st ( 3 4 ) 1 3 3 2 4 42 20 | | s s st st e e s s e s e − − − − + = − + − = （ 2 ） &[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + ∞ − − + ∞ − = = + ⋅ 2 2 0 0 3 cos π st π st st f t f t e dt e dt t e dt ∫ + ∞ − − = − + + − = 2 i i 2 0 2 3 | π π e dt e e e s st t t t st ∫ + ∞ − − − + − = − + + 2 2 ( i) ( i) ( ) 2 3 3 1 π π e e e dt s s s t s t s ⎥⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎣⎡ − + + − − = − + +∞= − + +∞= − − − 2 ( i) ( i) 3 3 1 | | 2 ( i) 2 ( i) 2 s e s e e s s t s t t s t πs π π ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ + − − = − + − − − + − 2 i i 3 3 1 2 ( i) 2 ( i) 2 s e s e e s s s s s π π π 2 2 2 1 3 3 1 s s e s e s s π π − − + = − − （ 3 ） &[ ] f ( )t [ ] e t e dt e e dt ( )t e dt t st t st −st +∞ +∞ − +∞ − ∫ ∫ ∫ = + = + 0 0 2 0 2 5 δ ( ) 5 δ ( ) 2 5 9 5 2 1 5 2 1 | 0 −− + = − + = − = = − − +∞ ∫− ∞ ss e s t e dt s t st st δ （ 4 ） & ( ) ( ) 0 co s s i n st s t f t δ t t e dt te dt +∞ +∞ − − −∞ ⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ − ⎣ ⎦ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 cos 2 2 2 2 0 | + = + = − + = ⋅ − = − s s s s t e t st 3．设 f ( t )是以 2 π 为周期的函 数 , 且在一个周期内的表达式 为 ( ) ⎩⎨⎧ < < < ≤ = π π π2 0 0 , sin , t t t f t ，求 & [f ( t ) ]. - 2 -
解周期为T的函数f()的拉氏变换为 因此有 o)=-e=-kh=1-e=mrc“b 1-e)x1-e(x+)x +1)=1-e-m+1=)s+ 4求下列各图所示周期函数的拉氏变换 4b t f() f() 解(1)由图易知f(是周期为b的函数且在一个周期内的表达式为 f()=t,0≤t<b 由公式 1+bs b s2 sl-e-bo) (2)已知f()是周期T=x的周期函数在一个周期内 sin t 0≤t<丌 由公式 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 解 周期为 T 的函数 f ( )t 的拉氏变换为 &[ ] ( ) ( ) , (Re 0 ) 1 1 . 0 > − = ∫ − − f t e dt s e f t T st sT 因此有 &[ ] ( ) ( ) t e dt e f t e dt e f t st s st s − − − − ⋅ − = − = ∫ ∫π π π π 0 2 20 2 sin 1 1 1 1 ∫ − − − − − = π π 0 i i 2 1 2 i 1 e dt e e e st t t s ( ) ( ) ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ − + − − − ⋅ − = = − + = − − − 2 i i i 1 1 1 | | 0 ( i) 0 ( i) 2 s e s e e t s t t s t s π π π ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + − − − − ⋅ − = − − − + − i 1 i 1 2 i 1 1 1 ( i) ( i) 2 se se e s s s π π π ( ) 1 ( 1 ) 1 1 1 1 1 2 2 2 − + = + + − = − − − s e s e e s s s π π π 。 4 .求下列各图所示周期函数的拉氏变换 ( 1 ) ( 2 ) O π t 2 π f t( ) f ( t ) b O b 2b 3b 4 b t ( 3 ) ( 4 ) f ( )t 1 O 4a 5 a t 2 a 3a a -1 t 5b f ( t ) b 2 b 3 b 4 b 1 O -1 解 (1)由图易知 f ( t )是周期为 b 的函数 ,且在一个周期内的表达式为 f ( t ) = t , 0 ≤ t < b 由公式 &[ ] ( ) ∫ − − − = b st bs te dt e f t 1 0 1 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − − − − = ∫ − − − b st b bs bs e dt s te e s 0 0 1 1 1 1 | ( ) ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ − − − − = − − − 1 1 1 1 2 bs bs bs e s s be e 21 1 1 s bs bse e bs e bs bs bs − + − − ⋅ − = − − − ( ) bs s eb s bs − − − + = 1 1 2 (2)已知 f ( )t 是周期 T = π 的周期函数 ,在一个周期内 f t( ) = si n t , 0 ≤ <t π 由公式 - 3 -
e[(]=,-bsJo sin te"dr (3)由图可知f()是周期T=4a的周期函数在一个周期内 a<t 0,3a 由公式 clfo dt tanh d (4)由图易知,f()是周期为2b的周期函数在一个周期内 由公式 6- -bs⊥a-2b-b e+e 习题二 求下列函数的拉氏变换式 (1)f(t)=t2+3+2 (2)f()=1-e (3)f()=(-1)e (4)f(=sin at (5)f(0=tcosat (6)f(=sin 2r 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ & ( ) 0 1 sin 1 st bs f t t e dt e π − − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ − ∫ 2 1 1 1 1 s s e e sπ −π + = − + 2 1 co t h 1 2s s π = + (3)由图可知 f ( )t 是周期 T = 4 a 的周期函数 ,在一个周期内 ( ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < − = a t a a t a a t a t a f t 3 4 2 32 0 0 ,1 , 0 , 1 , 由公式 &[ ] ( ) ( ) ∫ − − − = a st as f t e dt e f t 40 4 1 1 ( ) ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − − = − − − ∫ ∫ e dt e dt e st aa a st as 3 0 2 4 1 1 1⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − − − − = = − = − − s e s e e a t a st at st as 3 0 2 4 1 1 s e e e e as as as as 3 2 4 1 1 1 − − − − − + − ⋅ − = ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) as as as as as as as s e e e e s e e e − − − − − − − + + − + = − − − = 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 ( ) ( ) 22 1 1 1 tanh 1 1 1 as as as as e as s e e s e − − − − − = ⋅ = + + + (4)由图易知 , f ( t )是周期为 2 b 的周期函数 ,在一个周期内 ( ) ⎩⎨⎧ − ≤ < ≤ < = b t b t b f t 1 , 2 1 , 0 由公式 &[ ] ( ) ( ) ∫ − − − = b st bs f t e dt e f t 20 2 1 1 ( ) ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + − − = ∫ ∫ − − − b st b b st bs e dt e dt e 0 2 2 1 1 1 ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡ − − − − = = − = − − s e s e e b t b st bt st bs | | 2 0 2 1 1 s e e e e bs bs bs bs − − − − − + − ⋅ − = 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 1 1 1 tanh 1 2 bs bs e bs s e s −− − = ⋅ = − 习题二 1．求下列 函数的拉氏变换 式. （ 1 ） ( ) 2 f t t = + 3 t + 2 （ 2 ） ( ) t f t = 1 − te （ 3 ） ( ) 2 ( 1) t f t t = − e （ 4 ） ( ) at t f t sin 2α = （ 5 ） f ( )t t = co s a t （ 6 ） f ( t ) = 5sin 2 t − 3cos 2 t - 4 -
(7)f(=e-27sin 6t (8)f(1)=ecos4 (9)f()=r"e (10)f()=u(3t-5) (11!y)=-e-) (12)f() 解(1)利用< d)-[2+3+21-h]+32|+2c (2)cf (3)(-叫(-)e]=叫2-2+)2]=2el+e (4)elf( s+a (5)&(=<tcos at] cos at] s2 (s2+a2)2 (6)(2=cbmy3215m2小-3m2=-10 4s2+4s-+4 (7)<[f( sIn 6t (s+2)2 这里有 eosin 6r] 6 s2+36 再利用位移性质得到 (8)同(7)利用os4] 及位移性质 ezl(=ecos 4t 4 (s+4)+16 (9)利用]=m及位移性质得 ()-s 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （7） f ( )t = e−2t sin 6 t （ 8 ） ( ) 4 cos 4 t f t e − = t （ 9 ） f ( )t = t n e αt （10 ） f ( t ) = u ( 3 t − 5 ) （11 ） f ( )t = u (1 − e − t ) （12 ） ( ) t e f t 3 t = 解 （ 1）利 用 &[ ] ( ) , 1 1 1 > − Γ + = + α αα α s t ， & [f ( )t ] = & & 2 ⎡ ⎤ t t + + 3 2 = ⎣ ⎦ 2 ⎡ t ⎤ + 3 ⎣ ⎦ & 32 t 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ & [1 ] 3 2 2 3 2 s s s = + + （ 2 ） & [f ( )t ] = &[ ] − = & & t 1 te [ ]1 − [ ] t te dsd s = + 1 &[ ] ( ) 2 ' 1 1 1 1 1 1 − ⎟ − = − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ − = − s s s s e t （ 3 ） & [f ( )t ] = & & 2 ( 1) t ⎡ ⎤ t − = e ⎣ ⎦ 2 ( 2 1 ) t ⎡ t t − + e ⎤ = 22 d ds & [ ] ＋ 2 t e d ds & [ ] ＋ &[ ] t e t e ⎣ ⎦ 2 3 4 5 ( 1 ) s s s − + = − （ 4 ） & [f ( )t ] = & a at at 21 sin 2 = ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ & [tsin at ] dsd 2a1 = − & [sin at ] 2 2 2 2 1 ' 2 ( a s a s a s a ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + + 2 ) （ 5 ） & [f ( )t ] = & [t a cos t ] = － d ds & [cos at ] 2 2 2 2 2 2 ' ( ) s s s a s a ⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + + 2 a （ 6 ） & [f ( )t ] = & [ 5sin 2 t − 3 cos 2 t ] = 5 & [sin 2 t ] − 3 & [cos 2 t ] 4 10 3 4 3 4 102 2 2 +− = + − + = s s s s s （ 7 ） & [f ( )t ] = & 2 2 6 sin 6 ( 2 ) 3 6 t e t s − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ + + 这里有 &[ ] 36 6 sin 6 2 + = s t 再利用位移性质得到. （8）同（7）利用&[ ] 16 cos 4 2 + = s s t 及位移性质 &[f ( )t ] = & ( ) 4 24 cos 4 4 1 t s e t s − 6 + ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ + + （ 9）利用 &[ ] 1 !+ = n n s n t 及位移性质得&[f ( t ) ] = & [ ] ( ) 1 ! + − = n n at s an t e - 5 -