第七章金融市场中的维纳 过程和小概率事件 第一节随机环境中的微分 第二节两个一般模型 第三节罕见和正常事件的描述 第四节小概率事件的模型
第七章 金融市场中的维纳 过程和小概率事件 第一节 随机环境中的微分 第二节 两个一般模型 第三节 罕见和正常事件的描述 第四节 小概率事件的模型
首页第一节随机环境中的微分 设一资产价格()为时间t∈[0,7]上随机变量 则在给定的时间段上资产价格的变化是随机的, 其随机微分形式为 ds, =a(s,, t)dt +b(,, t)dw 其中aW表示在无穷小间隔的不可测事件, a(S,D)和b(S,D)是漂移核扩散因子,且与相适应
设一资产价格 为时间 上随机变量 第一节 随机环境中的微分 S(t) t [0,T] 则在给定的时间段上资产价格的变化是随机的， 其随机微分形式为 t t t dWt dS = a(S ,t)dt +b(S ,t) 其中dWt 表示在无穷小间隔dt 的不可测事件， a(S ,t) t 和b(S ,t) t 是漂移核扩散因子，且与 t I 相适应。 首页
、随机微分的构建 先构建离散时间的随机微分等式 将时间段[0,插点 0=10<1<…<tk<…<tn 分成长度为h的n等份, h4=hk=1,2 T h n 则在这些有限间隔内价格的观察值和增量为: k=S(hk) △Sk=S(h)-S(0k-1)h) 首页 定义一个随机变量△W
先构建离散时间的随机微分等式 0 = t 0 t 1 t k t n = T 将时间段[0,T] 插点 分成长度为 h 的 n 等份, t k −t k−1 = h h T n = t k = kh 则在这些有限间隔内价格的观察值和增量为： S S(hk) k = S S(hk) S((k 1)h) k = − − k =1,2, ,n 定义一个随机变量Wk 一、随机微分的构建 首页
AWk=Sk-Sk-EkILSk-Sk-II 其中[S-S1]表示在间隔k-1结束时的可得信息 的情况下,完全不可知;反映在第k 个间隔内资产价格S(的真实变化 首页 Ek1]表示在间隔k-1结束时的可得信息 的期望条件,反映在给出信息集/k1 情况下市场参与者的预期。 则△W是S=S中的一部分,称为“革新 项 1、在间隔k-1结束时未知,而在间隔k 革新项具结束时可观察到。即知道信息k,就能 有特征说出其确切值,且 EA[△W]=△Wk
其中 [ ] [ ] Wk = Sk − Sk−1 − Ek−1 Sk − Sk−1 [ ] Sk − Sk−1 表示在间隔 结束时的可得信息 的情况下，完全不可知；反映在第k 个间隔内资产价格 的真实变化。 k −1 S(t) [ ] 1 • Ek− 表示在间隔 结束时的可得信息 的期望条件，反映在给出信息集 情况下市场参与者的预期。 k −1 k −1 I 则 Wk 是 中的一部分，称为“革新 项” [ ] Sk − Sk−1 革新项具 有特征 1、在间隔 结束时未知，而在间隔 k 结束时可观察到。即知道信息 ，就能 说出其确切值，且 k −1 Ek Wk = Wk [ ] k I 首页
2在给出时刻k-1的信息集的情况下,其值是不可 测的。即对于所有的k E=1[△Wk]=0 3W表示在鞅过程中的变化,称作鞅微分。 记累加的误差过程: Wk=△W1+…+△WkWo=0 则W是鞅 原因是EA1W=E1△W1+…+△W] Ek1△W1]+…+Ek1[AWk=1]+Ek1△Wk =△W1+…+△Wk21=Wk1 首页
表示在鞅过程中的变化，称作鞅微分。 2 Wk 在给出时刻 的信息集的情况下，其值是不可 测的。 3 k −1 即对于所有的k Ek−1 [Wk ] = 0 记累加的误差过程： Wk = W1 ++ Wk 0 W0 = 则Wk 是鞅 原因是 [ ] Ek−1 Wk = Ek−1 W1 ++ Wk [ ] [ ] [ ] = Ek−1 W1 ++ Ek−1 Wk−1 + Ek−1 Wk = W1 ++ Wk−1 =Wk−1 首页