第六章鞅和鞅表示 第一节离散鞅 第二节连续时间鞅 第三节鞅轨迹的特征 第四节鞅举例 第五节鞅表示
第六章 鞅和鞅表示 第一节 离散鞅 第二节 连续时间鞅 第三节 鞅轨迹的特征 第四节 鞅举例 第五节 鞅表示
第一节离散鞅 、离散鞅的定义及性质 定义1某喱{x"}=0丁5…对任意n≥0,有 (1 EIX, koo (2)E(Xn|x0,…,Xn)=X 则称{Xn}为离散鞅序列简称为鞅 首页
第一节 离散鞅 一、离散鞅的定义及性质 定义1 若随机序列{Xn },n = 0,1,2, 对任意n 0，有 （1） E | Xn | （2） E Xn+ X Xn = Xn ( | , , ) 1 0 则称{ } Xn 为 离散鞅序列 简称为鞅 首页
注如果{Xn}为鞅,则它有某种无后效性 即当已知时刻n以及它以前的值X0,,Xn 那么n+1时刻的值xn+对X0,…,Xn的条件期望 与时刻n以前的值X02…,Xn1无关,并且等于Xn 鞅的直观背景解释 设想赌徒在从事赌博过程中,他在第n年的赌本为Xn E(Xn1|X02…,X)表示在已知前m年的赌本X0,…,An 的条件下,第n+1年的平均赌本 而鞅E(xn+1|X X)=X则表示这种赌博使第n+1年的 n+1202n)-2n平均赌本仍为第n年的赌本, 首页 这种赌博称为公平赌博
注 无后效性 鞅的直观背景解释 设想赌徒在从事赌博过程中，他在第n年的赌本为 表示在已知前n年的赌本 的条件下，第n+1年的平均赌本。 而鞅 则表示这种赌博使第n+1年的 平均赌本仍为第n年的赌本， 这种赌博称为公平赌博。 如果{Xn }为鞅，则它有某种 即当已知时刻 n 以及它以前的值 X Xn , , 0 ， 那么 n+1 时刻的值Xn+1 对 X Xn , , 0 的条件期望 与时刻 n 以前的值 0 1 , , X Xn− 无关，并且等于 Xn Xn ( | , , ) E Xn+1 X0 Xn X Xn , , 0 E Xn+ X Xn = Xn ( | , , ) 1 0 首页
定义2设{Xn}及{n},n=012,…,为两个随机序列, 对任意n≥0,有 (1)E|Xxnk<∞ (2)Xn是Y0,…,Y的函数 (3)E(X n+1110 ) X 则称{Xn}关于{Yn}为鞅,简称{Xn}为鞅 首页
定义2 对任意n 0，有 （1） E | Xn | （2） 简称 为鞅 设{ } Xn 及{ } Yn ，n = 0,1,2, ，为两个随机序列， Xn 是Y0 ，，Yn 的函数； （3） E Xn+ Y Yn = Xn ( | , , ) 1 0 则称{ } Xn 关于{ } Yn 为鞅， { } Xn 首页
定理1{Xn}关于{n}是鞅的充要条件为, 对任意非负整数m,n(m>n)有 E(Xn|Y0,…,Hn)=X 证充分性显然 必要性用归纳法来证 由假设知当m=n+1时(1)成立。 设当m=n+k(k>1)时(1)成立,则有 E(Xn+k+1|10,…,n) E[E(Xn+k+1|1,…,Yn+k)10…n E(Xn+k|Y0,…,n)=X 即当m=n+k+1时(1)成立。首页
定理1 证 充分性显然 { } Xn 关于{ } Yn 是鞅的充要条件为， 对任意非负整数 m，n（m n ）有 E X m Y Yn = Xn ( | , , ) 0 必要性用归纳法来证 由假设知 （1） 当m = n+1时（1）成立。 设当m = n + k （k 1）时（1）成立， 则有 ( | , , ) E Xn+k+1 Y0 Yn [ ( | , , )| , , ] = E E Xn+k+1 Y0 Yn+k Y0 Yn ( | , , ) = E Xn+k Y0 Yn = Xn 即当m = n + k +1时（1）成立。首页