傅氏变换习题解答 习题 1.试证:若f()满足傅氏积分定理的条件,则有 f(o= a(o)cos oddo+ b(o)sin oddo 其中 f∫(r) coordi, b(o)=f(r)sin ordr GE /(=f(r)e e drei"do=/(r)(cosot-jsinor)cos oddo ∫f()( COsT- jsin or)jsin otdrdo=」() cosordr cos oddo 广( in ordr sin ordo =S a(@)cos ordo+o b(@)sin odo 因p()mooo的奇函数,/()o偶函数 2.试证:若f()满足傅氏积分定理的条件,当/()为奇函数时,则有 Ar0=bla)sin(oo 其中 b(orr f()sin(or)dr 当f(为偶函数时,则有 f(=ao)cos(or o 其中 r f(e)cos(or)dr 证设f()是奇函数 /()=f()e io drea"do=/(r)(cos oT-jsin or)drei"do 广() sin ordre-o=2Jba-d.(o)是o的奇函数) 1*b(o)(cos ot jsin on)do="b(o)sin otda 设f()是偶函数 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 傅氏变换习题解答 习题一 1．试证：若 f ( t )满足傅氏积分定理的条件，则有 0 0 f ( )t a ( ω) c o sω ωtd b ( ω) s i n ωt d ω +∞ +∞ = + ∫ ∫ 其中 1 ( ) ( ) c o s , 1 ( ) ( ) s i n a f b f dd ω τ ωτ π τ ω τ ωτ τ π +∞ −∞ +∞ −∞ == ∫∫ 证 ( ) ( ) ( ) 1 1 j j (cos j sin ) cos 2 2 t f t f e d e d f ωτ ω τ τ ω τ ωτ ωτ ωtdτ d π π +∞ +∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ −∞ −∞ = = − ∫ ∫ ∫ ∫ ω ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 + (co s j s i n ) j s i n cos cos 2 1 + sin si n ( ) cos ( )sin f t d d f d t d f d t d a t d b t d τ ωτ ωτ ω τ ω τ ωτ τ ω ω π π τ ωτ τ ω ω ω ω ω ω ω ω π +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ − = = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 因 f t ( ) τ ω sin τ cosω dτ d ω ω ， 。 +∞ ∫−∞ 为 的奇函数 f t ( ) τ ω cos τ cosω dτ d ω ω +∞ ∫−∞ 为 的偶函数 2．试证：若 f ( t )满足傅氏积分定理的条件，当 f ( t )为奇函数时，则有 f ( )t b (ω ) (ωt )dω ∫ +∞ = 0 sin 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 b f ω τ ω sin τ d π +∞ = ∫ τ 当 f ( )t 为偶函数时，则有 f ( )t a (ω )cos (ωt )dω ∫0 +∞ = 其中 ( ) ( ) ( ) 0 2 a f ω τ ω cos τ d π +∞ = ∫ τ 证 设 f ( )t 是奇函数 ( ) ( ) 1 j j 2 t f t f e d e d ωτ ω τ τ ω π +∞ +∞ − −∞ − ∞ = ∫ ∫ ( ) ( ) 1 j cos jsin 2 t f d e d ω τ ωτ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) j 0 1 si n j t f d e d ω τ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 j 2j t b e d ω ω ω +∞ −∞ = ∫ 。 （ b (ω ) 是 ω 的奇函数） ( ) ( ) ( ) 0 1 cos jsi n s i n 2j b t ω ω ωt d ω b ω ωt d +∞ +∞ −∞ = + = ∫ ∫ ω 设 f ( )t 是偶函数
allelo doJo q(o cos oddo a(o)是o的偶函数。(注也可由1题推证2题) 3.在题2中,设/y)≈J1,|t1 l0,|t1 试算出a(o),并推证 Itk 2 t1 0,|t卜1 证f()是偶函数 2 sin 12 ()=∫0o +oo sin o cos ot cos oddo= z IK1 所以 top SIn o cos o 丌0+1 t=1 习题二 1.求矩形脉冲数/()sA,0≤t≤r 的傅氏变换 0,其他 F(a)=[(]/(e comdt=o Ae iodt A Jo 2.求下列函数的傅氏积分 0.-∞<t< (2)f() 0, (3)f()= l,-1<t<0 (1)f()= 0,t2>1 sin2t.t≥0 0<t<1 0.1<t<+0 解(1)函数f()={-°,k!满足傅氏积分定理的条件,傅氏积分公式为 0,|t卜>1 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ ( ) ( ) 1 j j 2 t f t f e d e d ωτ ω τ τ ω π +∞ +∞ − −∞ − ∞ = ∫ ∫ ( ) ( ) 1 j cos jsin 2 t f d e d ω τ ωτ ωτ τ ω π +∞ +∞ −∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) ( ) j 0 1 cos 2 t a e d a t d ω ω ω ω ω +∞ +∞ −∞ = = ∫ ∫ ω a (ω ) 是 ω 的偶函数。（注也可由 1 题推证 2 题） 3．在题 2 中， 设 ( ) ，试算出 1, | | 1 0, | | 1 t f t t ⎧ ≤ = ⎨⎩ > a (ω )，并推证 0 , | | 1 2 sin cos , ||1 40 , ||1 t t d tt π ω ω π ω ω +∞ ⎧ < ⎪⎪⎪ = ⎨ = ⎪⎪ > ⎪⎩ ∫ 证 f ( t )是偶函数 ( ) ( ) ∫ = = + ∞ = ωω ω π ω π ω π ω 2 sin 0 2 sin 1 cos 0 2 t a f t tdt ( ) ( ) ∫ ∫ + ∞ = +∞ = ω ω ω ω π ω ω ω d t t a td sin cos 0 2 cos 0 f 所以 ( ) 0 | | 1 2 sin cos 0 1 | | 1 2 2 2 4 0 | | t t d f t tt π ω ω π π π ω ω +∞ ⎧ 1 < ⎪⎪⎪ + = = ⎨ = ⎪⎪ > ⎪⎩ ∫ = 。 习题二 1 ． 求矩形脉冲函数 , 0 ( ) 0, A t f t ⎧ ≤ ≤ τ = ⎨⎩ 其他 的傅氏变换。 解 F( ) ω = ¶ ( ) ( ) j j 0 t t f t f t e dt Ae dt ω ω τ − − +∞ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ −∞ ∫ ∫ j i j 0 1 1 j j j t e e e A A A τ ω ωτ ωτ ω ω ω − − − − − = = = − − 2 ． 求下列函数的傅氏积分： （1） ( ) （ 2 ） （ 3 ） 2 22 1 , 0, 1 t t f t t ⎧ − < = ⎨⎩ > 1 ( ) ⎩⎨⎧ ≥< = − sin 2 , 0 0 , 0 e t tt f t t ( ) 0, 1 1, 1 0 1, 0 1 0, 1 tt f t t t ⎧ −∞ < < − ⎪⎪− − < < = ⎨ < < ⎪⎪⎩ < < + ∞ 解 （ 1）函 数 ( ) 满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为 ⎩⎨⎧ > − < = 0, | | 1 1 , | | 1 2 t t t f t
f()= ∫0)e-da0=-- e-iedteedo 厂(- I (+ sin ot (2t cos ot 2sin at ! sin ot cos male do 2(sin @-ocosoledo=- 4 r+oo sin @-@coso cos oddo (2)f()= 0,t<0 lesn2,t≥0 满足傅氏积分定理的条件,其傅氏积分公式为 ()=2厂 te-le dtelerdo= a e"sin 2teidte'iodo e dedo dede 4 [-1+i(2-o) 2+o)y edo +1(2-o)-1-i(2+o) 4x1J--1+1(2-o)-1-1(2+o o2)-2 (cos ot+isin ot do 丌J-x25-6o2+ +o 5-02)cos ot 2sin at 25-602+o4 do+o -@ )sin at-2@ cos ot 25-6o2+4 t+eosin ot de (3)函数f( 0<t<1是奇函数,满足傅氏积分定理的条件,其傅氏积分公式为 其他 f(t)= f(e" le"dte" yo ( sin otte do ∫; sin odie"o=+I- ordo 在/()的间断点62=-101处以(+0)+/(-代替 3.求下列函数的傅氏变换,并推证下列积分结果。 (1)f()=e刚(B>0),证明 cos or d (2)/=c+cy,证明[,+oo)1=2+co 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ ( ) ( ) 1 i i 2 t t f t f t e dt e d ω ω ω π +∞ +∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ ( ) 1 2 i i 1 1 1 2 t t t e dte d ω ω ω π +∞ − −∞ − = − ∫ ∫ ( ) 1 2 i 0 1 1 c o s t t tdte d 1 2 i 2 3 0 1 sin 2 cos 2 sin sin t t t t t t t e d ω ω ω ω ω ω π ω ω ω ω +∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ = − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ − + ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ ] ω ω ω π +∞ −∞ = − ∫ ∫ ( ) i 3 1 2 s i n c o s t e d ω ω ω ω ω π ω +∞ −∞ − = ∫ 3 0 4 s i n c o s cos td ω ω ω ω ω π ω +∞ − = ∫ （ 2 ） ( ) 满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ⎩⎨⎧ ≥< = − sin 2 , 0 0, 0 e t tt f t t ( ) ( ) i i i i 0 1 1 sin 2 2 2 t t t t t f t f t e dt e d e t e dt ω ω ω ω ω e d ω π π +∞ +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ ∫ ∫ − i2 i2 i i 0 1 2 2 i t t t t t e d e e e e d t ω ω ω π − +∞ +∞ − − −∞ − = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) i 2 i 2 i 0 1 4 i t t t t t e e dte ω ω ω d ω π +∞ +∞ − + − − − + −∞ = − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 i 2 1 i 2 i 0 1 4 i 1 i 2 1 i 2 t t e e t e d ω ω ω ω π ω ω +∞ ⎡ ⎤ − + − ⎡ ⎤ − − + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ +∞ −∞ ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − + − − − + ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) 1 1 1 i 4 i 1 i 2 1 i 2 t e d ω ω π ω ω +∞ −∞ ⎡ ⎤ − − = − ⎢ ⎥ − + − − − + ⎣ ⎦ ∫ ( ) ( ) 2 2 4 1 5 2 i cos i s i n 25 6 t t ω ω ω ω ωd π ω ω +∞ −∞ − − = + − + ∫ ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 1 i 5 cos 2 sin 5 s i n 2 cos 25 6 2 5 6 t t t t d d ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω π ω ω π ω ω +∞ +∞ −∞ − ∞ − + − − = + − + − + ∫ ∫ ( ) 2 2 4 0 2 5 c o s 2 s i n 25 6 t t d ω ω ω ω ω π ω ω +∞ − + = − + ∫ （ 3）函数 ( ) ，满足傅氏积分定理的条件，其傅氏积分公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧ < < − − < < = 是奇函数 0, 其他 1, 0 1 1, 1 0 tt f t ( ) ( ) ( ) i i i 0 1 1 sin 2 i t t t f t f t e dt e d f t t dt ω ω ω ω ω ω e d π π +∞ +∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ ∫ ∫ 1 i i 0 1 1 1 1 sin i i t t tdte d e d ω ω cosω ω ω ω π π +∞ + ∞ −∞ −∞ ω − = ⋅ = ∫ ∫ ∫ ω ω ωω π sin td 2 1 cos ∫0 +∞ − = 在 f ( )t 的间断点 t 0 = − 1 , 0 , 1处以 ( ) ( ) 2 f t 0 + 0 + f t 0 − 0 代替。 3．求下列函数的傅氏变换，并推证下列积分结果。 （1） | | ( ) t f t e−β = （ β > 0 ），证明 | | 2 2 0 co s 2 t t d e ω π β ω β ω β +∞ − = + ∫ （ 2 ） f ( )t = e − | t | cos t ，证明 ( ) ∫ +∞ − = ++ 0 | | 42 cos 2 cos 42 t d e t π t ω ω ωω
3101b明广mDm体 t卜丌 解(1)F0)=5(0)1-ch-2 -l"===2—d -(B-ie)r -(B-ie) +e-(B+ie) ldt (B-io)-(B 2B B-i0 B+io B2+02 f()的积分表达式为 0)=2ok 2B d cos ot+isin ordo B- cos ot 即 do= B+@4 2B (2)Fo)=s() coste lex ∫cuo)+fn [-1+0-)j 21+1(1-)1-i(1+o)-1+i(1-0)-1-i( 2a2+4 21+(0-)(+0)+1-(-0)+1+(+o)」+4 f()的积分表达式为 小=ro) 4+4 0+4cos atdo 因此有。+2w02()=or (3)F(o)=s[(]/(e io"dt=l sin te"idt=[ sin r cos ot-isin o lt=-2i sint sin ordt f()的积分表达式为 f()= Fok 2T 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （3） ( ) 证明 ⎩⎨⎧ >≤ = 0, | | , sin , | | , ππ t t t f t 2 0 si n sin sin , | | 2 1 0, | | t t t d t π ωπ ω π ω ω π +∞ ⎧⎪ ≤ = ⎨ − ⎪⎩ > ∫ 解 （ 1 ） F( )t = ¶ ( ) | |t i t f t e e d t β ω +∞ − − −∞ ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ∫ = i i 0 0 2 c o s 2 2 t t t t e e e t d t e d t ω ω β β ω − +∞ +∞ − − + = ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i 0 0 0 i i t t t t e e e e dt β ω β ω β ω β ω β ω β ω +∞ + − − − − +∞ − − − + = + ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ − − − + ∫ ∞ 2 2 112 i i β β ω β ω β ω = + = − + + f ( t )的积分表达式为 ( ) ( ) ∫ +∞−∞ = ω ω π ω f t F e d i t 21 ( ) 2 2 1 2 co s i s i n 2 t t d β ω ω ω π β ω +∞ −∞ = + + ∫ 2 2 0 2 co s td β ω ω π β ω +∞ = + ∫ 即 | | 2 2 0 cos 2 t t d e ω π β ω β ω β +∞ − = + ∫ （ 2 ） F( ) ω = ¶ [ ] ( ) ∫ ∫ +∞−∞ − − − +∞−∞ − − + = = e dt e e f t e te dt e t t t t ωt t i ω i i | | i | | 2 cos ( ) ( ) ( ) ( ) { } 0 0 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 0 0 12 t t t e dt e dt e dt e dt ω ω ω t +∞ +∞ ⎡ + − ⎤ ⎡ − + ⎤ ⎡ ⎤ − + − ⎡ − − + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞ −∞ = + + + ∫∫∫ ∫ ω = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 0 0 2 1 i 1 1 i 1 1 i 1 1 i 1 t t t t e e e e ω ω ω ω ω ω ω +∞ +∞ ⎡ ⎤ + − ⎡ − + ⎤ ⎡ ⎤ − + − ⎡− − + ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −∞ −∞ ⎧ ⎫ 1 ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ + + + + − − + − + − − − + ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ω ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 i 1 ω 1 i 1 ω ω 1 i 1 1 i 1 ω ⎡ ⎤ = + ⎢ ⎥ + + + − − + − − + + ⎣ ⎦ 2 4 2 44 ωω + = + f ( t )的积分表达式为 ( ) ( ) ω ωω π ω ω π ω ω f t F e d e d t i t 42 i 4 2 4 21 21 ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ ++ = = ∫ +∞ ++ = 0 42 cos 4 1 2 4 ω ω ωω π td 因此有 ( ) ∫ +∞ − = = ++ 0 | | 42 cos 2 2 cos 42 td f t e t π π t ω ω ωω （ 3 ） F( ) ω = ¶ ( ) ( ) i i sin t t f t f t e dt te dt π ω ω π +∞ − − −∞ − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ = − = − −π π π ω ω ω 0 sin t cos t isin t dt 2 i sin tsin tdt = [ ] ( ) ( ) ∫ + − − π ω ω 0 i cos 1 t cos 1 t dt ( ) ( ) ⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎣⎡ −− − ++ = ωω ωω π π 1 sin 1 1 sin 1 i 0 0 t t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 i ω ω π ω ω π ω π ω ω π − + − + − − − − = 2 1 sin 2 i ω ωπ − = − f ( t )的积分表达式为 ( ) ( ) ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − = = − ω ω ωπ π ω ω π ω ω f t F e d e d t i t 2 i 1 sin 2 i 21 21
sin oT sin ot 20动tisn 因此有“xm=号={2mx 0,|t卜>x 4.已知某函数f()的傅氏变换为F()=52,求该函数f0 解f0=1-Fod=n(oako ~s0m,如m(,(1- I too sin o +msin(1+no+ cos oddo= 而由 2a=2得 当n>0时,C当d=Ch=hx= top sin u@ 当u<0时, w sin(uko d 当:0时,5如=所以)试有 ItKI ()={1.1+ 0,|t>1 5.已知某函数的傅氏变换为F(O)=m[b(+a)+o(a-a),求该函数f()。 解f()=2F(oyd=厂8o+)+6-l-d e le teler =COS@o! t<0 6.求符号函数(又称正负号函数)sgnt= 的傅氏变换。 解符号函数不满足傅氏积分定理的条件,显然广|sgn|dh→+a0不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定义。首先注意到可取f()={01=0,且sgnt=limf,(),F[sgnl= :lim Fl(O,而 n→a n→ f(1)满足傅氏积分定理的条件,且 Flol=s[m(]/(e"io dt=e"ne-iondt-Lengerindt 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ − + = − − = 0 2 2 1 2 sin sin cos isin 1 i sin ω ω ωπ ω π ω ω ω ω ωπ π d t t t d 因此有 ( ) ∫+∞ ⎪⎩⎪⎨⎧ >≤ = = 0 − 2 0 , | | sin , | | 2 1 2 sin sin ππ π π ω ω ωπ ω t t t d f t t 4．已知某函 数 f ( t )的傅氏变换为 F( ) ω = si n ωω ，求该函数 f ( t ) 。 解 ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ +∞−∞ +∞−∞ = = ω + ω ω ωω π ω ω π ω f t F e d t t d t cos isin sin 21 21 i ( ) 0 1 s i n 1 sin( 1 ) sin 1 co s 2 2 t t td d ω ω ω ω ω ω π ω π ω +∞ +∞ −∞ + + − = = ∫ ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ − + + = 0 0 sin 1 2 sin 1 1 21 ω ω ω π ω ω ω π d t d t （ * ） 而由 ∫ +∞ = 0 2 sin π dx x x 得 当 u > 0时，∫ ∫ ∫ +∞ +∞ +∞ = = = 0 0 0 2 sin sin sin π ω ωω ω ω ω dx x x du u u d u 当 u < 0 时， ( ) ∫ ∫ +∞ +∞ = − − = − 0 0 2 sin sin π ω ω ω ω ω ω d u d u 当 u = 0 时， 0 sin 0, u d ω ω ω +∞ = ∫ 所以由(* )式有 ( ) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ >=< = 0 , | | 1 , | | 1 41 , | | 1 21 ttt f t 5．已知某函数的傅氏变换为 0 F( ) [ ( ) ( ) ] ω π δ ω ω 0 = + +δ ω −ω ，求该函数 f ( t ) 。 解 ( ) ( ) i i 0 0 1 1 [ ( ) ( ) ] 2 2 t t f t F e d e d ω ω ω ω π δ ω ω δ ω ω π π +∞ +∞ −∞ − ∞ = = + + − ∫ ∫ ω 0 0 -i i 0 cos 2 t t e e t ω ω ω + = = 6．求符号函数（又称正负号函数） 1, 0 sgn | | 1, 0 t t t t t ⎧ − < = = ⎨⎩ > 的傅氏变换。 解 符号函数不满足傅氏积分定理的条件，显然 不收敛。按照如下方式推广傅氏 变换的定 义。首先注 意到可取 ，且 | s g n t d| t +∞ −∞ → + ∞ ∫ / / , 0 ( ) 0 00 t n n t n e t f t t e t − ⎧ > ⎪ = = ⎨⎪− < ⎩ sgn lim ( ) n n t f t →∞ = ， [sgn ] l i m [ ( )]，而 df n n F t F f t →∞ = ( ) nf t 满足傅氏积分定理的条件，且 [ ] Fn ω = ¶ ( ) ( ) 0 i / i / 0 t t n t t n n i t f t f t e dt e e dt e e dt ω ω +∞ +∞ − − − −∞ −∞ ⎡ ⎤ = = − ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ − ω