第四章随机分析及均方微分方程 第一节二阶矩过程 第二节均方极限 第三节均方连续性 第四节均方导数 第五节均方积分 第六节均方黎曼一司蒂吉斯积分 第七节均方导数与均方积分的分布 第八节均方微分方程
第四章 随机分析及均方微分方程 第一节 二阶矩过程 第二节 均方极限 第三节 均方连续性 第四节 均方导数 第五节 均方积分 第六节 均方黎曼—司蒂吉斯积分 第七节 均方导数与均方积分的分布 第八节 均方微分方程
第一节二阶矩过程 定义 若随机过程{X(t),t∈T},对任意t∈T,有 m()=E[X(t)]<∞o D(t)=E[(X(t)-m()2]<∞ 则称为二阶矩过程 首页
第一节 二阶矩过程 定义 若随机过程{X(t) ,t T }，对任意t T ，有 m(t) = E[X (t)] ( ) = [( ( ) − ( )) ] 2 D t E X t m t 则称为二阶矩过程 首页
例1设X(t)=X0+,a≤t≤b 其中X0和是相互独立且都服从正态分布N(0,1) 的随机变量,试判断Y(1)为二阶矩过程 解由于X和都服从正态分布,所以x()也具有 正态分布,且 mx(t)=ELX(O]=ELXo+t]=ELXOJ+tE]=0 K(12)=EX(1)X(2)=E(X+吃1)X+吃t2 =E[X]+122]=1+12 令4=2=t,得D(t)=1+t2 故X(1)为二阶矩过程。 首页
例1 其中 和V是相互独立且都服从正态分布N（0，1） 的随机变量， 解 由于 和V都服从正态分布，所以 也具有 正态分布， 设 X t = X +Vt 0 ( ) ，a t b ， X0 试判断 X(t) 为二阶矩过程。 X0 X (t) 且 m (t) E[X(t)] X = [ ] = E X0 +Vt [ ] [ ] 0 = E X0 +tE V = ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 K t t = E X t X t [( )( )] = E X0 +Vt1 X0 +Vt2 [ ] [ ] 2 1 2 2 = E X0 +t t E V 1 1 2 = +t t 令t = t = t 1 2 ，得 D (t) X 2 =1+ t 故 X(t) 为二阶矩过程。 首页
性质阶矩过程的协方差函数一定存在首页 证K(4,12)=coⅵX(t1)2X(2 =E{X(1)-m(1X(t2)-m(2)} 由许瓦兹不等式得 K(1,2)2=E{[X(1)-m(4)[X(2)-m(2)}2 ≤E{X(t1)-m(t1E{X(t2)-m(2)} DX(41)·DX(2) 故|K(212)2<+0 即二阶矩过程X(1)的协方差函数存在 注二阶矩过程的相关函数R(,2)也一定存在
性质 二阶矩过程的协方差函数一定存在 证 ( , ) cov[ ( ), ( )] 1 2 1 2 K t t = X t X t {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} 1 1 2 2 = E X t −m t X t −m t 由许瓦兹不等式得 2 1 1 2 2 2 1 2 | K(t ,t )| =| E{[X(t ) −m(t )][X(t ) − m(t )]}| {[ ( ) ( )] } {[ ( ) ( )] } 2 2 2 2 1 1 E X t − m t E X t − m t [ ( )] [ ( )] 1 2 = D X t D X t 故 + 2 1 2 | K(t ,t )| 即二阶矩过程 X (t) 的协方差函数存在 注 二阶矩过程的相关函数 ( , ) 1 2 R t t 也一定存在。 首页
说明在讨论二阶矩过程中,常假定均值为零, 这样相关函数的形式和协方差函数的形式 相同。 返回 首页
说明 在讨论二阶矩过程中，常假定均值为零， 这样相关函数的形式和协方差函数的形式 相同。 返回 首页