习题四解答 1.下列数列{an}是否收敛?如果收敛,求出它们的极限: 1+m2)an i \-n i =1+ 2 ;3)an=(-1+ ;4)an=e-m2:5) n+1 an -e-ni/ 1++2+1+n2,又lim+n2=-1,lim2=0,故an收敛, 1-n 2 1+n n→∞ lim a =-1 n→∞ n - 2)an=1+=e,又lim n2=0,故an收敛,liman=0 n→∞ 3)由于an的实部{-1发散,故an发散 n 4)由于an=ei2=cos-isin,其实部虚部数列均发散,故an发散 5) a, =Le-riz2 _Lcos nmi-sin lim-cos =0o, lim-sin=, n n 2 n→n2n→n2 故an收敛, lim=0 2.证明: [0 lak1, lima=∞, a>1, n→∞ 1 a=1 不存在,|a=1,a≠1 3.判断下列级数的绝对收敛性与收敛性: )∑:2)∑ i ;3) (6+5i) nn 84) -cos in 2 cos nnn sin 解1)由i=cos+isin, 2与∑2为收敛的交错项实级数, n n 所以∑收敛,但,故∑发散,原级数条件收敛 n 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 习题四解答 1．下列数列 { } αn 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1 ） 1 i 1 i n nn α + = − ； 2 ） i 1 ; 2 n αn − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ） i ( 1) ; 1 n n n α = − + + 4 ） ； 5 ） n i / 2 n e π α − = 1 n i / 2 n e n π α − =解 1 ） 2 2 2 1 i 1 2 i 1 i 1 1 n n n n n n n α + − = = + − + + ， 又 22 1 2 lim 1,lim 0 n n 1 1 n n →∞ n n →∞ − 2 = − = + + ， 故 αn 收敛， li m 1 n n α →∞ = − 2） i 2 1 2 5 n n i n e θ α − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，又 2 lim 0 5 n i n e − θ →∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，故 αn 收敛，li m 0 n n α →∞ = 3）由于 αn 的实部 {( 1 ) } n − 发散，故 αn 发散 4）由于 i / 2 co s i s i n 2 2 n n n n e π π π α − = = − ，其实部、虚部数列均发散，故 αn 发散 5 ） 1 1 i / 2 1 cos i si n 2 2 n n n n e n n n π π π α − = = − ，知 1 1 lim cos 0,lim s i n 0 n n 2 2 n n n n π π →∞ →∞ = = ， 故 αn 收敛， li m 0 n n α →∞ = 2．证明： 0, | | < 1 , , | | > 1 , lim 1, 1 , | | = 1 , 1 . n n αα α α α α →∞ ⎧⎪⎪ ∞ = ⎨ = ⎪⎪⎩不存在， ≠ 3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1） 1 in n n ∞=∑ ； 2） 2 i lnn n n ∞=∑ ； 3 ） 1 (6+5i ) 8 n n n∞=∑ ； 4 ） 2 co s i 2 n n n ∞=∑ 。 解 1）由i c o s i s i n 2 2 n n n π π = + ， 1 co s 2 n nn π ∞=∑ 与 1 sin 2 n nn π ∞=∑ 为收敛的交错项实级数， 所以 1 i n n n ∞=∑ 收敛，但 i 1 n n n = ，故 1 i n n n ∞=∑ 发散，原级数条件收敛； 1
2)与1)采用同样的方法,并利用,≥-(n≥2) Inn n 3)因/6+5i m(8)收敛,故∑ (6+5i) 绝对收敛 4)因csin=chm,而lmcm≠0,故∑Sm发散 4.下列说法是否正确?为什么? (1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 (2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点: (3)每一个在二连续的函数一定可以在二的邻域内展开成 Taylor级数。 解(1)不对。如∑二在收敛圆<1内收敛,但在收敛圆周H=1上并不收敛 (2)不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数,不能有奇点 (3)不对。如f()=在全平面上连续但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor级 数 5幂级数∑cn(=-2)能否在=0收敛而在二=3发散? 不能。因如∑(=-2)在=0收敛,则由Ad定理其收敛半径 R≥0-2=2,而B-21=1<2即==3在其收敛圆|-2k2内,故级数∑cn(-2)在 z=3收敛,矛盾。 6.求下列幂级数的收敛半径: (1)∑二(p为正整数):(2))(m)2 (3)∑(1+1)”=n n=I n 1) 解(1)R=l/lim limOn=1 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 2）与 1）采用同样的方法，并利用 1 1 ( 2 ln n n n ≥ ≥ ) ； 3）因 (6+5 i ) 61 8 8 n n n ⎛ ⎞ = ⎜⎜ ⎝ ⎠⎟⎟ ，而 1 618 n n∞= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 收敛，故 1 (6+5i ) 8 n n n∞=∑ 绝对收敛； 4）因cos i n = ch n ，而 ch lim 0 2 n n n →∞ ≠ ，故 2 co s i 2 n n n ∞=∑ 发散。 4．下列说法是否正确？为什么？ （1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； （2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； （3）每一个在 z0 连续的函数一定可以在 z0 的邻域内展开成 Taylor 级数。 解 （ 1）不对。如 ∑ 在收敛圆 ∞n=0 n z z < 1内收敛，但在收敛圆周 z = 1上并不收敛； （ 2）不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数，不能有奇点； (3)不对。如 f ( z ) = z 在全平面上连续 ,但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级 数。 5.幂级数 ( 能否在 收敛而在 0 2 n n n c z ∞=∑ − ) z = 0 z = 3发散？ 解 不能。因如 ( ) 在 0 2 n n n c z ∞=∑ − z = 0 收敛，则 由 Abel 定理其收敛 半 径 R ≥ 0 − 2 = 2 ，而 3 − 2 = 1 < 2 即 z = 3 在其收敛圆 | z − 2 | < 2 内，故级数 在 收敛，矛盾。 ( ) 0 2 n n n c z ∞=∑ − z = 36．求下列幂级数的收敛半径： （1） 1 ( ) np n z p n ∞=∑ 为正整数 ； （ 2 ） 1 ! n n n n z n ∞=∑ （ ） 2 ； （ 3 ） ； 0 1 ) n n n i z ∞=∑（＋ （ 4 ） 1 i n n n e z ∞ π =∑ ； （ 5 ） 1 i ch ( 1 ) n n z n ∞= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ ； （ 6 ） 1 ln i n n z n ∞= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 。 解 （ 1 ） 1/ l i m l i m 1 n p n n n n R a n →∞ →∞ = = = ； 2
(2)R=1/lim =Im lim -n=0 (3)R=1/lim vla I =liml/|1+i|=1/ (4)R=l/lim va, =l R=1/lim 1/lim alch 1/lim /cos-=1 (6)R=1/lim vla, =lim(In inI=co 7.如果∑c=”的收敛半径为R,证明级数∑(Recn)="的收敛半径≥R 证明对于圆kR内的任意一点2,由已知∑G”绝对收敛即∑n收敛,又 因Re|skn},从而ecse出x鬥,故由正项级数的比较判别法∑Recn也 收敛即∑(Recn)=在R内绝对收敛,于是其收敛半径≥R。 8.证明:如果hmcm存在(≠∞),下列三个幂级数有相同的收敛半径 ∑ ∑ 证明设lim==P,则幂级数∑C2"的收敛半径为/l 幂级数∑4,的收效半径为R=m=m40+)=Mp cn+/(n+ 幂级数∑nCn=”-的收敛半径为R=1/lim+=lm 1/pl; n-y an+o(n+1)c 故以上三个幂级数有相同的收敛半径 9.设级数∑cn收敛,而∑|c1发散,证明∑cn="的收敛半径为1 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ （2） 1 1 1 (1 ) 1 / li m l i m li m 0 1 n n n n n n n n a a n R a a n + →∞ →∞ → ∞ + + = = = + = ; （ 3 ） 1/ l i m n l i m1/ | 1 i | 1/ 2 n n n R a →∞ →∞ = = + = ； （ 4 ） 1/ l i m n 1 n n R a →∞ = = ； （ 5 ） 1 1/ lim n 1/ lim n ch 1/ lim n cos 1 n n n n i R a →∞ →∞ n n →∞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = ； （ 6 ） 1/ l i m l i m | l n i | n n n n R a n →∞ →∞ = = = ∞ ; 7．如果 的收敛半径为 R，证明级数 的收敛半径 0 n n n c z ∞=∑ ( ) 0 Re n n n c z ∞=∑ ≥ R 。 证明 对于 圆 | z | < R 内的任意一点 z，由已知 绝对收敛即 0 n n n c z ∞=∑ 0 n n n c z ∞=∑ 收敛，又 因 Re n c ≤ c n ，从而 Re | | | | n n n n c z ≤ c z ，故由正项级数的比较 判 别 法 0 Re n n n c z ∞=∑ 也 收敛即 ( ) 在 0 Re n n n c z ∞=∑ | z | < R 内绝对收敛，于是其收敛半径 ≥ R 。 8．证明：如 果 1 lim n n n cc+ →∞ 存在（ ≠ ∞ ） ，下列三个幂级数有相同的收敛半径 n n ∑c z ； 1 1 c n n z n + + ∑ ； n 1 n nc z − ∑ 。 证明 设 1 lim n n n cc ρ + →∞ = ，则幂级数 的收敛半径为1/ n n ∑c z | ρ | ； 幂级数 1 1 c n n z n + + ∑ 的收敛半径为 1 1 /( 1 ) 1/ lim lim 1/ | | /( 2) n n n n n n a c n R a c n ρ + →∞ →∞ + + = = = + ； 幂级数 的收敛半径为 n 1 n nc z − ∑ 1 1 1/ l i m l i m 1/ | | ( 1) n n n n n n a n c R a n c ρ + →∞ →∞ + = = = + ； 故以上三个幂级数有相同的收敛半径。 9．设级数 收敛，而 0 n n c ∞=∑ 0 n n c ∞=∑ 发散，证明 0 n n n c z ∞=∑ 的收敛半径为 1 。 3
证明由级数∑cn收敛,知幂级数∑cn"在二=1处收敛,由Abe定理知∑cn 的收敛半径R21:而∑kn发散知∑|cn="|在1=|=1处发散,故∑cn”的收敛半径 R≤1。所以∑cn”的收敛半径为1 10.如果级数∑Cn"在它的收敛圆的圆周上一点=处绝对收敛,证明它在收敛圆所 围的闭区域上绝对收敛。 证明由Abel定理知∑cn"在其收敛圆内绝对收敛,再证其在圆周上绝对收敛即 可。在圆周上任取一点,∑|cnm"F∑|cn-31、知∑cn”绝对收敛,故结论成立 11.把下列各函数展开成z的幂级数,并指出它们的收敛半径。 (1) (4)sh 1+4 (5)chz:(6) e sin 22:(7)e=-:(8)sin 解(1)由,=1-2+2-x23+…,k1,故 (-1) 而收敛半径R=1 (2)因1=1 1+= 2-x3+…+(-1)=+…,|=k1 故 +-) 3)因c:12+4+…故1-2+-+ 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ 证明 由级数 0 n n c ∞=∑ 收敛，知幂级数 0 n n n c z ∞=∑ 在 z = 1处收敛， 由 Abel 定理 知 的收敛半径 0 n n n c z ∞=∑ R ≥ 1；而 0 n n c ∞=∑ 发散知 在 0 | | n n n c z ∞=∑ | | z = 1 处发散， 故 0 n n n c z ∞=∑ 的收敛半 径 R ≤ 1。所以 的收敛半径为 1 。 0 n n n c z ∞=∑ 10 ． 如果级数 0 n n n c z ∞=∑ 在它的收敛圆的圆周上一点 处绝对收敛，证明它在收敛圆所 围的闭区域上绝对收敛。 0 z 证明 由 Abel 定理 知 在其收敛圆内绝对收敛，再证其在圆周上绝对收敛即 可。在圆周上任取一点 0 n n n c z ∞=∑ η ， 0 ，知 0 0 | | | n n n n n n c c η ∞ ∞ = = ∑ = ∑ z | 0 n n n c η ∞=∑ 绝对收敛，故结论成立。 11．把下列各函数展开成 z 的幂级数，并指出它们的收敛半径。 （ 1 ） 3 1 1+ z ； （ 2 ） ( )2 2 1 1+ z ； （ 3 ）cos z 2 ； （ 4 ）sh z ； （ 5 ）ch z ； （ 6 ） sin 2 ； （ 7 ） 2 e z z 1 z z e − ； （ 8 ） 1 − z 1 sin 解 （ 1）由 1 , | | 1 1 1 2 3 = − + − + < + z z z z z " ，故 = − + − + … + ( ) − + … + n n z z z z z 3 6 9 3 3 1 1 1 1 ， | z | < 1 ， 而收敛半径 R=1 ； （ 2）因 = − + − + … + ( ) − + … + n n z z z z z 1 1 1 1 2 3 ， | z | < 1 ， 故 = − + + … + ( ) − + … + n n z z z z 2 4 2 2 1 1 1 1 ， | z | < 1 ， 又因 ⎟ ′ ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + 2 1 1 z ( )2 2 1 2zz +− = ， ( ) ⎟ ′ = − + − + … ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + = − + 2 4 6 2 2 2 1 2 3 4 1 1 21 1 1 z z z z z z ， | z | < 1 ， 而 R =1 ； （ 3）因 , , 2 ! 4 ! 6 ! cos 1 2 4 6 = − + − + … z < ∞ z z z z 故 = − + − + " 2 ! 4 ! 6 ! cos 1 4 8 12 2 z z z z 4
zk<+∞而其收敛半径R=+∞; (4)因shz=e-e 2c=1++57+3+…k+,2x <+∞0 故 shz=z+-++…,|-k+∞,而收敛半径R=+0 (5)chz=1+++…,|k+∞ 6因1++++k+如m=-=+ 故e2snx2=|1+2+++…∥-:5+ +…,|=k+∞, 而收敛半径R=+∞ (7)因e=1++5+5+…,|k+∞, ∑=1k1 ∑ +…|=k1, 而收敛半径R=1。 (8)因sin Sin l cos +cos l sin ∑="1=k1 故sn=(+2+2+}1(+2+2+.)+…=+2+5=3+…,1=k1 十 故 =sin1==+.+cos 12+=2+ 5 sin1+(cos1)+cosl-5sinI 而收敛半径R=1 12.求下列各函数在指定点0处的 Taylor展开式,并指出它们的收敛半径: 本文件是从网上收集,严禁用于商业用途!
我要答案网 www.51daan.net 本文件是从网上收集，严禁用于商业用途！ | z |< +∞ 而其收敛半径 R = +∞ ； （4）因 , | | , 2 ! 3 ! , 1 2 sh 2 3 = + + + + … < +∞ − = − z z z e z e e z z z z , | | , 2 ! 3 ! 1 2 3 = − + − + … < +∞ − z z z e z z 故 , | | , 3 ! 5 ! sh 3 3 = + + + … z < +∞ z z z z 而收敛半径 R = +∞ ； （ 5 ） 2 4 ch 1 , | | , 2! 4! z z z z = +++… < + ∞ （ 6）因 , | | , 2 ! 3 ! 1 4 6 2 2 = + + + + … z < +∞ z z e z z , | | , 3 ! 5 ! sin 6 10 2 2 = − + + … z < +∞ z z z z 故 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟ − + + … ⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = + + + + … 3 ! 5 ! . 2 ! 3 ! sin 1 6 10 2 4 6 2 2 2 z z z z z e z z z , | | , 36 2 4 = + + + … z < +∞ z z z 而收敛半径 R = + ∞ ; （ 7）因 2 3 1 , | 2! 3! z z z e z = + + + + … z | < + ∞ , 2 3 1 0 ,| | 1 , 1 n n z z z z z z z ∞ + = = − − − − … = − < − ∑ 故 1 2 1 3 2 3 1 1 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 2! 3 ! 2! 3 ! n n z z n n n n z z z z e z z ∞ ∞ + + ∞ − + = = = = − + − + = − − − + < ∑ ∑ ∑ " " , | z | 1 ， 而收敛半径 R=1 。 （ 8）因 , 1 cos 1sin 1 sin 1cos 1 sin 1 1 1 sin z z z z z z z − + − ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ − = + − , | | 1 , 1 0 2 3 1 = + + + … = < − ∑∞= + z z z z z z z n n 故 = ( ) + + +… − ( ) + + +… + … − 3 2 3 2 3 3 ! 1 1 sin z z z z z z z z = + 2 + 3 + … 65 z z z ， | z | < 1 ， = − ( + + + … ) − ( ) + + +… + … − 4 2 3 2 2 3 4 ! 1 21 1 1 cos z z z z z z z z = − 2 − 3 + … 21 1 z z ， | z | < 1 ， 故 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ⎟ + + + + … ⎠⎞ ⎜⎝⎛ = − − + … − 2 3 2 3 65 cos 1 21 sin1 1 1 1 sin z z z z z z = ( ) cos 1 sin 1 , | | 1 65 sin1 21 sin1 cos1 cos1 2 3 ⎟ + < ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ⎟ + − ⎠⎞ ⎜⎝⎛ + z + − z z " z ， 而收敛半径 R=1 。 12．求下列各函数在指定点 z 0 处的 Ta y l o r 展开式，并指出它们的收敛半径： 5