第五章平稳过程 第一节基本概念 第二节平稳过程相关函数的性质 第三节平稳正态过程与正交增量过程 第四节遍历性定理
第五章 平稳过程 第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节基本概念 、严平稳过程 定义1设随机过程{X(),t∈T},若对任意n,任意T t∈T t1<t2<…< 当41+z,2+z,…,tn+x∈T时,有 F(12t2,…,tn;x1,x2…,xn) =P{X(t1)≤x12X(2)≤x2,…,X(tn)≤xn)} P{X(1+z)≤x,X(t2+)≤x2,…,X(tn+z)≤xn)} F(t1+,t2+r…,tn+G;x1 则X(t)称为严平稳过程 首页
第一节 基本概念 一、严平稳过程 定义1 设随机过程{X(t) ,t T }， 若对任意n，任意 t 1 ，t 2 , ,t n T n t t t 1 2 当 + 1 t ， + 2 t ，…，t n + T 时，有 ( , , , , , , ) 1 2 n 1 2 n F t t t ；x x x { ( , ( ) , , ( ) )} 1 1 2 2 n n = P X t） x X t x X t x { ( , ( ) , , ( ) )} 1 1 2 2 n n = P X t +） x X t + x X t + x ( , , , , , , ) 1 2 n 1 2 n = F t + t + t +；x x x 则 X (t)称为严平稳过程 首页
平稳过程的特点 1严平稳过程X()的一维概率密度f(;x)与t无关 二维概率密度f(t1,2;x1,x2)仅与时间差7=1-t面有关, 而与时间起点无关。 证一维 Ⅺ任眼·旦f(;x)=f(t+r;x) 若令=-t,得 f(t;x)=f(0;x)=f(x) 即一维概率密度f(t;x)与t无关。 同理有一维分布函数也与无关, 首页即F(;x)=F(0x)
二、严平稳过程的特点 1 二维概率密度 仅与时间差 有关， 而与时间起点无关。 证 严平稳过程X(t) 的一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关， ( , , ) 1 2 1 2 f t t ；x x 1 2 = t −t 对任意的 ，必有 f (t；x) = f (t +；x) 若令 = −t ，得 f (t；x) = f (0；x) = f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。 同理有一维分布函数也与t无关， 即 F(t；x) = F(0；x) 一维 首页
证二维 对于二维概率密度,有 f(t1212;x12x2)=f(t1+,t2+v;x12x2) 若令τ=-2,得 f(t12t2;x12x2)=f(1-12DO; f(r; xix 其中=1-t2 同理二维分布函数也仅与时间差z=1-2有关, 而与时间起点无关,即 F(1,12;x12x2)=F(;x1,x2 首页
对于二维概率密度，有 证 二维 ( , , ) 1 2 1 2 f t t ；x x ( , , ) 1 2 1 2 = f t + t +；x x 若令 2 = −t ，得 ( , , ) 1 2 1 2 f t t ；x x ( ,0 , ) 1 2 1 2 = f t −t ；x x ( , ) 1 2 = f ；x x 其中 1 2 = t −t 同理 二维分布函数也仅与时间差 有关， 而与时间起点无关，即 1 2 = t −t ( , , ) 1 2 1 2 F t t ；x x ( , ) 1 2 = F ；x x 首页
2若严平稳过程存在二阶矩,则 1)均值函数为常数:m(t)=E[X()]=m (2)相关函数仅是时间差=1-t2的函数: 记 B(z)=R(t12t2) 证只对连续型的情况 m(0=ELX(=xf(: x)dx +oO xf(x)dx=m 首页
2 若严平稳过程存在二阶矩，则 证 （2）相关函数仅是时间差 的函数： 记 （1）均值函数为常数： m(t) = E[X (t)] = m 1 2 = t −t ( ) ( , ) 1 2 B R t t = 只对连续型的情况 + − m(t) = E[X(t)] = x f(t；x)dx = xf x dx = m + − ( ) 首页