三模块函数的微分学-函数的最值

第三模块函数的微分学63-8函数的最值第三模块函数的微分学应用教学第三节函数的最值一、一元函数的最大值与最小值二、二元函数的最大值与最小值三、条件极值

第三模块 函数的微分学 第三节 函数的最值 一、 一元函数的最大值与最小值 二、 二元函数的最大值与最小值 三、 条件极值

第三模块函数的微分学63-8函数的最值一一元函数的最值应用数学例 1 试求函数 f (x)=3x4-16x3+30x2-24x +4在区间10.37上的最大值和最小值

一 一元函数的最值 例 1 试求函数 f (x) = 3x 4 -16x 3 + 30x 2 – 24x + 4 在区间[0,3]上的最大值和最小值

第三模块函数的微分学63-8函数的最值解f'(x) =12x3 - 48x2 + 60x - 24应用数学= 12 (x - 1)2(x -2),令 f'(x)=0，得驻点x=1， x=2，它们为 f(x)可能的极值点，算出这些点及区间端点处的函数值：f(0) = 4, f(1) = - 3, f(2) =- 4, f(3) = 13,将它们加以比较可知在区间[0,3]上f(x)的最大值为f(3)=13， 最小值为f(2)= - 4

解 f (x) = 12x 3 - 48x 2 + 60x – 24 令 f (x) = 0，得驻点 x = 1， x = 2，它们为 f (x) 可 能的极值点， 算出这些点及区间端点处的函数值： = 12(x - 1) 2(x - 2)， f (0) = 4， f (1) = - 3，f (2) = - 4，f (3) = 13， 将它们加以比较可知在区间[0, 3]上 f (x) 的最大值 为 f (3) = 13， 最小值为 f (2) = - 4

第三模块函数的微分学63-8函数的最值例3设圆柱形有盖茶缸容积V为常数，求表应用数学面积为最小时，底半径x与高y之比解（1)建立目标函数茶缸容积为V=元x2y，设表面积为S，则 S=2元x2+2元xyVV因为 V为常数，所以，y=2元rY茶缸由此可得目标函数表面积的表达式2元xV2VS(x) = 2元x2 +2元xx>0.一?x

例 3 设圆柱形有盖茶缸容积 V 为常数，求表 面积为最小时，底半径 x 与高 y 之比. 解 (1)建立目标函数． 茶缸容积为 V = x 2 y，设表面 积为 S，则 S = 2x 2 + 2x y， 因为 V 为常数，所以， , 2 x V y  = 由此可得目标函数 —— 茶缸 表面积的表达式 , 0. 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 =  +    =  + x x V x x xV S x x x y

第三模块函数的微分学63-8函数的最值(2)求S(x)的最小值应用教学因为2VS'(x) = 4元xtV且唯一令 S(x)=0,得可能极点值 =V2元4V崇>0，所以 S(x)在又 S"(x)= 4元+V处取得最小值x=2元

(2)求 S(x) 的最小值. 因为 , 2 ( ) 4 2 x V S x = x − 令 S(x) = 0, 得可能极点值 , , 2 且唯一  = V x . 2 ( ) 处取得最小值 所 以 在  = V x 又 0， S x 2 , 4 ( ) 4 3            =  +  V S x V S x