相似与等价的关系？相似必等价；等价不一定相似。相似关系具有如下基本性质A~A（1）反身性:（2）对称性：若 A~B，则 B～A(3）传递性：若 AB，B~C,则 A~C
相似关系具有如下基本性质： A A ～ A B ～ B A ～ A B, ～ B C ～ A C ～ （1）反身性： （2）对称性：若 ，则 （3）传递性：若 ，则 相似与等价的关系？ 相似必等价；等价不一定相似
（7个性质）相似矩阵的性质：性质1相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值证明设AB，则根据定义，存在可逆矩阵P，使得P-'AP= B于是B-E=P-"AP-P-'P=p-(A-E)P=P-|[A-aE|P|=[A-aE|即A与B具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值注上述性质的逆命题不成立0X
相似矩阵的性质：（7个性质） 性质1 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有 证明 设 A B ～ ,则根据定义，存在可逆矩阵P，使得 1 P AP B 于是 B E 1 P A E P A E 即A与B具有相同的特征多项式,从而具有相同的特征值. 注 上述性质的逆命题不成立. 相同的特征值. 1 1 1 ( ) P AP P P P A E P
性质2相似矩阵具有相同的行列式和相同的迹性质3若 A~B,则 R(A)=R(B)性质4若 A~B，则 Am~B".证明设P-AP=B，则(P-1AP)"=B"，即P-"AP)(P-"AP)..(P-"AP)= P-"A" Pm即P-IA"P=B",所以 Am~Bm0008
性质2 相似矩阵具有相同的行列式和相同的迹. 性质3 若 A B ～ ,则 R R ( ) ( ) A B 性质4 若 A B ～ ，则 . A B m m ～ 证明 设 1 P AP B ，则 1 m m P AP B ，即 1 1 1 1 m m P AP P AP P AP P A P 即 1 m m P A P = B ，所以 A B m m ～
例已知矩阵A与B相似，其中000100202则 α=B=A:a2300b0解由trA= trB由A|=B 得:得:5+a=3+b,6a-8=2b．从而解得： α=3,b=5
例 已知矩阵A与B相似，其中 2 0 0 1 0 0 0 2 , 0 2 0 , 0 2 3 0 0 A a B b 则 a b _, _. 解 由 trA trB 得： 5 3 ; a b 由 A B 得： 6 8 2 . a b 从而解得： a b 3, 5
性质5若 A~B，且A可逆，则 B也可逆，且 A-l～B-1性质6若A~B，对于任意多项式f(x)，有f(A)~f(B性质7若A～B n是 A的属于的特征向量，则P-In是B的属于 的特征向量
性质6 若 A B ～ ，对于任意多项式 f x( ) ，有 f f ( ) ( ) A B ～ 是 性质7 若 A B ～ 是 A 的属于 的特征向量，则 1 P 的属于 的特征向量. B 性质5 若 A B ～ ，且 A 可逆，则 B 也可逆，且 A B 1 1 ～