于是得到下面的结论 (1)向量组，.，心，线性相关的充分必要条件是对 应的齐次线性方程组有非零解。 (2)向量组1，心2，.，Cn线性无关的充分必要条件是对 应的齐次线性方程组只有零解 3向量组线性关系的判定 例题1讨论向量组81,82，.，8n的线性关系
1 (1) , , 向量组 n线性相关的充分必要条件是对 应的齐次线性方程组有非零解。 于是得到下面的结论 . (2) , , , 1 2 应的齐次线性方程组只有零解 向量组 n线性无关的充分必要条件是对 3.向量组线性关系的判定. 1 , , , . 例题 讨论向量组 1 2 n的线性关系
解：设n个数k,k2,kn,使得 k161+k2E2+.+kn6n=0 即 (k1,k2,kn)=(0,0,.,0)成立， 则必有k1=0,k2=0.,kn=0, 所以61,62，8n线性无关， 例题2已知向量组α1,2，∝的线性无关证明向量组 0y1+2,2+3,C1+是线性无关的
1 2 1 1 2 2 , , , , 0 n n n n k k k k k k 解：设 个数 使得 1 2 ( , , , ) (0,0, ,0) n 即 k k k 成立， 1 2 1 2 0, 0, , 0 , , , . n n k k k 则必有 ， 所以 线性无关 , , . 2 , , , 1 2 2 3 1 3 1 2 3 是线性无关的 例题 已知向量组 的线性无关 证明向量组
证：设有k,k2,k使 kB1+k2B2+k3B3=0 即k(a1+2)+k2(a2+a3)+k(a3+a1)=0, 亦即（k1+k3)a1+(k+k2)a2+(k+k3)a3=0, 因a1,&2,a3线性无关，故有 k1+k3=0, k1+k2=0, k2+k3=0
1 2 3 1 1 2 2 3 3 , , 0 k k k k k k 设有 使 1 1 2 2 2 3 3 3 1 即 k（ ） k ( ) k ( ) 0, 1 3 1 1 2 2 2 3 3 亦即 （ k k ) (k k ) (k k ) 0, 因 1， 2， 3线性无关，故有 1 3 1 2 2 3 0 , 0 , 0 . k k k k k k 证:
101 由于此方程组的系数行列式110=2≠0 011 故方程组只有零解k,=k2=k3=0,所以向量组 B1,P2,B,线性无关 例5设r维向量组&=(a1,42,a),i=1,2,.,m 及r+1维向量组=(1,42，4.+1，i=1,2, ,m.即a是由a加一个分量而得若r维向量组%， a2,m线性无关，试证r+1维向量组，a2, a线性无关
1 0 1 1 1 0 2 0 0 1 1 由于此方程组的系数行列式 1 2 3 1 2 3 0 , , . k k k 故方程组只有零解 ，所以 向量组 线性无关 1 2 1 2 , 1 1 2 1 2 5 ( , , , ), 1,2, , 1 ( , , , , ), 1,2, , . . , , , 1 , , , . i i i ir i i i ir i r i i m m r a a a i m r a a a a i m r r 例 设 维向量组 及 维向量组 即 是由 加一个分量而得 若 维向量组 线性无关，试证 维向量组 线性无关