证设x,x+△xeI，则y= f(x), y+Ay= f(x+Ax)e J.由条件易知F可微，并有F(x,y)= 0, F(x+Ax, y+Ay) = 0.使用微分中值定理,3(0<<1)，使得0 = F(x+△x, y+Ay)-F(x,y)= Fr(x+0ax, y+0y) Ax+F,(x+0Ax, y+y) Ay,前页后页返回
前页 后页 返回 y f x , y y f x x J . = + = + ( ) ( ) F(x, y) = 0, F(x + x, y + y) = 0. 使用微分中值定理, (0 1), 使得 0 ( , ) ( , ) = + + − F x x y y F x y 证 设 x, x + x I, 则 由条件易知 F 可微，并有 ( , ) F x x y y y, y + + + ( , ) = + + F x x y y x x
F.(x+Ax,y+0Ay)AyAxF,(x+ax, y+0Ay)因 f,Fx,F,都是连续函数，故 △x→0 时△y→0,并有AyF(x+0Ax,y+Ay)f'(x) = lim-limAx-0 △xAx-0 F,(x+0Ax, y+Ay)F(x,y)(x,y)eIxJ.F,(x,y)显然f(x）也是连续函数后页返回前页
前页 后页 返回 . ( , ) ( , ) F x x y y F x x y y x y y x + + + + = − 显然 f (x) 也是连续函数． x → 0 y → 0, Fx Fy 因 f , , 都是连续函数, 故 时 并有 0 0 ( , ) ( ) lim lim ( , ) x x x y y F x x y y f x x F x x y y → → + + = = − + + ( , ), ( , ) . ( , ) x y F x y x y I J F x y = −
注1 当F(x,y)存在二阶连续偏导数时，所得隐函数也二阶可导.应用两次复合求导法，得Fx(x,y)+ F,(x,y) y' = 0,Fx + Fxyy'+(Fyx + Fyy')y'+ Fyy"= 0.将(2)式代入上式，经整理后得到1y"=(Fr + 2Fgy' + Fymy2)FJ2FF,F,-F,'Fw-F'Fw(3)-F.3y后页返回前页
前页 后页 返回 F (x, y) + F (x, y) y = 0, x y F + F y + (F + F y )y + F y = 0. xx x y yx y y y (3) − − = 2 2 3 2 . x y xy y xx x yy y F F F F F F F F 注1 当 F(x, y) 存在二阶连续偏导数时，所得隐函 数也二阶可导．应用两次复合求导法，得 将 (2) 式代入上式，经整理后得到 = − + + 1 2 ( 2 ) xx xy yy y y F F y F y F
注2 利用公式(2)，(3)求隐函数的极值：F= 0(a)求使 y'=0 的点 A(&，即的解。[Fx =0(b) 在点 A 处因 F,=0,而使(3) 式化简为Fty"lA=-(4)F,4(c)由极值判别法,当J"lA<0（或>0)时,隐函数y=f(x)在x 取得极大值(或极小值).后页返回前页
前页 后页 返回 注2 利用公式 (2) , (3) 求隐函数的极值: y = 0 = = 0 0 Fx F (a) 求使 的点 A x y ( , ) %% , 即 的解． = 0 A Fx (b) 在点 处因 ，而使 (3) 式化简为 . y A xx A F F y = − (4) 0 ( 0) A (c) 由极值判别法, 当 y 或 时, 隐函数 在 取得极大值(或极小值) . ~ y f x = ( ) x y
注3 由方程(5)F(x,y,z) = 0确定隐函数z=f(x,）的相关定理简述如下：设在以点 P(xo,Jo,zo)为内点的某区域DcR3上,F的所有一阶偏导数都连续，并满足F(xo, yo,zo)= 0, F,(xo,Jo,Zo) + 0.则存在某邻域U(P)CD，在其内存在惟一的、连续可微的隐函数z=f(x,J)，且有返回前页后页
前页 后页 返回 设在以点 P0 (x0 , y0 ,z0 ) 为内点的某区域 上, 3 D R ( , , ) 0 , F x0 y0 z0 = ( , , ) 0 . Fz x0 y0 z0 则存在某邻域 U(P0 ) D, 在其内存在惟一的、连 续可微的隐函数 z = f (x, y) ，且有 注3 由方程 F(x, y,z) = 0 (5) 确定隐函数 z = f (x, y) 的相关定理简述如下： F 的所有一阶偏导数都连续，并满足