(x-S,x+)c(xo -α,xo +α),且当x(X-,X+)时，有F(x, J-)<0, F(x,J+8)>0.类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有J-8<f(x)<y+8, xe(x-S,x+o),因此f(x)在x莲续.由x 的任意性,便证得f(x)在（xo-α，xo+α）上处处连续后页返回前页
前页 后页 返回 ( , ) ( , ), x − x + x0 − x0 + F(x, y − ) 0, F(x, y + ) 0. y − f (x) y + , x(x − , x + ), 在 (x0− , x0+ ) 上处处连续． 因此 f (x) 在 x 连续. 由 x 的任意性, 便证得 f (x) 且当 x(x − , x + ) 时，有 类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有
注1 定理18.1 的条件(i)～(iv)既是充分条件，又是一组十分重要的条件.例如：① F(x,y)= y3 -x3 = 0, F,(0,0) = 0, 在点(0,0) 虽不满足条件(iv)，但仍能确定惟一的隐函数y=x.② F(x,)=(x+y)-x2 +y2=0 (双纽线),在点（0,0）同样不满足V条件(iv)；如图18一3所示，在该点无论多图18一3么小的邻域内，确实后页返回前页
前页 后页 返回 注1 定理 18.1 的条件 (i) ～ (iv) 既是充分条件, 又 是一组十分重要的条件. 例如： ① F(x, y) = y 3 − x 3 = 0, Fy (0,0) = 0, 在点 (0,0) 虽 不满足条件 y = x. (iv)，但仍能确定惟一的隐函数 ( , ) ( ) 0 2 2 2 2 2 ② F x y = x + y − x + y = (双纽线), 在 点 (0,0) 同样不满足 条件 (iv); 如图18－3 所示, 在该点无论多 x y O −1 1 么小的邻域内, 确实 图 18－3
不能确定惟一的隐函数注2 条件(ii)、(iv)在证明中只是用来保证在邻域 U(P)内 F(x,y)关于y为严格单调.之所以采用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，二则是在后面的定理18.2中它们还将起到实质性的作用。注3读者必须注意，定理18.1是一个局部性的隐函数存在定理：例如从以上双纽线图形看出：除了(0,0),(1,0),(-1,0)三点以外，曲线上其余各点处都返回前页后页
前页 后页 返回 用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验， 的作用． 二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性 注3 读者必须注意, 定理 18.1 是一个局部性的隐 函数存在定理．例如从以上双纽线图形看出: 除了 (0,0),(1,0),(−1, 0) 三点以外, 曲线上其余各点处都 注 2 条件 (iii) 、 (iv) 在证明中只是用来保证在邻 ( ) 域 U P0 内 F(x, y) 关于 y 为严格单调．之所以采 不能确定惟一的隐函数
存在局部隐函数y=f(x)（这不难用定理18.1加以检验，见后面第四段的例1).注4 在方程 F(x,y)=0 中，x 与 的地位是平等的.当条件(ii)、(iv) 改为“ Fx(x,y) 连续, 且 F(xo,yo)±0 "时，将存在局部的连续隐函数x=g(y)返回前页后页
前页 后页 返回 存在局部隐函数 y = f (x) ( 这不难用定理 18.1 加 以检验，见后面第四段的例１)． 注4 在方程 F(x, y) = 0 中, x 与 y 的地位是平等 的. 当条件 (iii) 、 (iv) 改为 时，将存在局部的连续隐函数 x = g( y). F (x, y) x “ 连续, 且 Fx (x0 , y0 ) 0
定理18.2（隐函数可微性定理）设函数F(x,J)满足定理 18.1 中的条件(i) ～(iv),在D内还存在连续的 Fr(x,y).则由方程 F(x,J)=0 所确定的隐函数y=f(x)在I内有连续的导函数，且'(x)=-F()(2)(x,y)e IxJ.F,(x,y)(注:其中I =(xo-α, xo+α) 与 J=(yo-β, yo+β)示于定理18.1的证明(d))后页返回前页
前页 后页 返回 定理 18.2 ( 隐函数可微性定理 ) 设函数 F(x, y) 满 足定理 18.1 中的条件 (i) ～ (iv), 在 D 内还存在连 F (x, y) x 续的 . 则由方程 F( x, y) = 0 所确定的隐 函数 y = f (x) 在 I 内有连续的导函数，且 ( , ) ( ) ( , ) . (2) ( , ) x y F x y f x , x y I J F x y = − ( 注: 其中 0 0 I = (x0 − , x0 + ) 与 J y y = − + ( , ) 示于定理18.1 的证明 (d) )