FFxazazy(6)xFF.axay1更一般地，由方程F(xi, X2,"",Xn,y) = 0确定隐函数=f(xi,X2,,xn）的相关定理，见教材下册p.149上的定理18.3，这里不再详述后页返回前页
前页 后页 返回 F(x1 , x2 , , xn , y) = 0 , . x y x y z z z z F F f f x F y F = = − = = − (6) 更一般地，由方程 ( , , , ) x1 x2 xn 确定隐函数 y = f 的相关定理, 见教 材下册 p.149 上的定理18.3 , 这里不再详述
四、隐函数求导数举例例1试讨论双纽线方程(x? + y) -x2+ y = 0所能确定的隐函数y=f(x) 或 x=g(y)解 令 F(x,)=(x2+2)-x2+2,它有连续的F, = 4x(x? + y")-2x, F, = 4y(x? + y)+2y.F(x,y)=0F(x,y)= 0与求解F,(x,J)=0 ’分别得到Fx(x,y)=0后页返回前页
前页 后页 返回 ( ) 0 2 2 2 2 2 x + y − x + y = 解 令 F(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 − x 2 + y 2 , 它有连续的 4 ( ) 2 , 4 ( ) 2 . 2 2 2 2 F x x y x F y x y y x = + − y = + + 求解 , 分别得到 ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 = = = = F x y F x y F x y F x y x y 与 四、隐函数求导数举例 例1 试讨论双纽线方程 所能确定的隐函数 y f x x g y = = ( ) ( ). 或
F,(0) F (+4,+) 0.F,(0,0) = F,(±1,0) = 0.所以，除(0,0),(±1,0)这三点外，曲线上在其他所有点处都存在局部的可微隐函数y=f(x)同理，除(0,0),（±学,±学)这五点外，曲线上在其他所有点处都存在局部的可微隐函数x = g(y).再考虑隐函数J=f(x）的极值.由于后页返回前页
前页 后页 返回 再考虑隐函数 y = f (x) 的极值．由于 = = 6 2 (0,0) ( , ) 0, 4 4 F F x x 在其他所有点处都存在局部的可微隐函数 x g y = ( ). 所以，除 (0,0),(1, 0) 这三点外，曲线上在其他 所有点处都存在局部的可微隐函数 y = f (x). ) 4 2 , 4 6 同理，除 (0,0), ( 这五点外，曲线上 F F y y (0,0) 1,0 0. = = ( )
Fxx(x,J) = 2(6x? +2y2 -1),6,_3, Fx(F,(4'44'422V23V/23L<0V 222.244-V6V2处取得极大值由对称因此,f(x)在x=:"446(-9)处还取得极小值性又知,f(x)在x4前页后页返回
前页 后页 返回 ( , ) 2(6 2 1), 2 2 Fxx x y = x + y − 6 2 , ( ) ; 4 4 因此 在 处取得极大值 由对称 f x x = = = 6 2 2 6 2 3 ( , ) , ( , ) , 4 4 2 4 4 2 F F y xx 6 2 = − = − ( , ) 4 4 3 2 3 2 0 2 2 2 y 性又知, 6 2 ( ) . 4 4 f x x = − 在 处还取得极小值
例2讨论笛卡儿叶形线(图18一4)Y3/4a3/2ax3 + y3 = 3axy (a >0)(7)x2=ay所确定的隐函数y=f(x)的存在福3/2a3/4ax性，并求其一阶、二阶导数.x+y=-0解 令 F(x,y)=x3 + y3 -3axy.图18—4先求出在曲线(7) 上使 F,=3(y2-ax)=0 的点为0(0,0),B(4a,32a).除此两点外,方程(7)在其他各点处都能确定局部的隐函数y=f(x)后页返回前页
前页 后页 返回 各点处都能确定局部的隐函数 y = f (x)． 例2 讨论笛卡儿叶形线(图18－4) 3 ( 0) 3 3 x + y = axy a (7) 所确定的隐函数 y = f (x) 的存在 性，并求其一阶、二阶导数． ( , ) 3 . 3 3 解 令 F x y = x + y − axy3( ) 0 2 先求出在曲线 (7) 上使 Fy = y − ax = 的点为 (0,0), ( 4 , 2 ) 3 3 O B a a . 除此两点外, 方程 (7) 在其他 图 18－4