S2由平行截面面积求体积Q为三维空间中一立体它夹在垂直于x轴的两平面x=a，x=b之间(a<b).Vxela,bl,作垂直于x轴的平面，截得Q的截面面积为A(x)A(x)bx前页后页返回
前页 后页 返回 §2 由平行截面面积求体积 面 x = a , x = b 之间(a < b). x a b [ , ] , 作垂直于 x 为三维空间中一立体,它夹在垂直于x 轴的两平 轴的平面,截得 的截面面积为 A(x). a b x A x( ) 返回
若A(x)在[a,bl上连续,则Q 的体积为V= I'A(x)dr.证设T: a=x,<x,<…<x,=b是[a,b]的一分割,[xi-1,x;l上 A(x)的最大、最小值分别为 M,m, ,则第i个小薄片的体积△V满足m,Ax,≤AV, ≤ M,Ar,于是"Wm,Ax,sV-EAV,-Em,Ax,.i-1i=1i=1后页返回前页
前页 后页 返回 ( )d . b a V A x x = 证 0 1 : [ , ] 设T a x x x b a b = = n 是 的一分割, 1 [ , ] ( ) , , i i i i x x A x M m − 上 的最大、最小值分别为 若A(x) 在 [ , ] , a b 上连续 则 的体积为 Δ i 则第 i V 个小薄片的体积 满足 Δ Δ Δ , m x V M x i i i i i 于是 1 1 1 Δ Δ Δ . n n n i i i i i i i i m x V V M x = = = =
当|T→0时,EM,4x, - I' A(x)dx, Zm,4x, → I' A(x)dx.i-1i-1因此 V=["A(x)dx.前页后页返回
前页 后页 返回 当 T → 0 时, 1 ( )d , n b i i a i M x A x x = → 1 ( )d . n b i i a i m x A x x = → 因此 ( )d . = b a V A x x
例1求由两个圆柱面x2+y2=a与z2+x2=a2所7围立体的体积101xV解先求出立体在第一卦限的体积V.Vx,E[0,a]x=x,与立体的截面是边长为a2-x的正方形前页后页返回
前页 后页 返回 例1 求由两个圆柱面 2 2 2 2 2 2 x y a z x a + = + = 与 所 围立体的体积. 2 2 0 0 x x a x = − 与立体的截面是边长为 的正方形, 解 1 0 先求出立体在第一卦限的体积V x a . [0, ] , y x z O a a x0 a
所以 A(x)=a2-x2,xe[0,al. 于是求得V=8)1-8] (a-r)dx-16a3以下讨论旋转体的体积。设f是[a,bl上连续函数，是由平面图形A=((x,y)0≤/ y/≤/ f(x)l,a≤x≤b)绕x轴旋转一周所得的旋转体，则A(x)=元 f(x), xe[a,b],V = nf' f'(x)dx.后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 所以 A x a x x a ( ) , [0, ]. = − 于是求得 ( ) 9 2 2 3 1 0 16 8 8 d . 3 V V a x x a = = − = A x y y f x a x b = {( , ) 0 | | | ( ) | , } 设 f a b 是[ , ]上连续函数， 是由平面图形 2 A x f x x a b ( ) = π ( ) , [ , ], 绕 x 轴旋转一周所得的旋转体,则 2 π ( )d . b a V f x x = 以下讨论旋转体的体积