S1幂级数一般项为幂函数ax一x）"的函数项级数称为幂级数。这是一类最简单的函数项级数，幂级数在级数理论中有着特殊的地位，在函数逼近和近似计算中有重要应用，特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具一、幂级数的收敛区问二、幂级数的性质三、幂级数的运算前页后页返回
前页 后页 返回 §1 幂 级 数 一般项为幂函数 的函数项级数称 为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级 数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近 和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级 数展开为研究非初等函数提供了有力的工具. 0 ( )n n a x x − 返回 三、幂级数的运算 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质
一、幂级数的收敛区间幂级数的一般形式为Ea,(x-x)" =a, +a,(x-x)+a,(x-x,)'+.n=0(1)+a,(x-x,)" +..为方便起见，下面将重点讨论x。=0，即Za,x" -a, +ax+a,x'+..+a,x"+..(2)n=0的情形.因为只要把(2)中的x换成x一x，就得到(1)后页返回前页
前页 后页 返回 一、幂级数的收敛区间 幂级数的一般形式为 = − = + − + − +2 0 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n a x x a a x x a x x 为方便起见, 下面将重点讨论 0 x = 0 , 即 2 0 1 2 0 (2) n n n n n a x a a x a x a x = = + + + + + x 换成 0 的情形.因为只要把(2)中的 x x − , 就得到(1). + − + 0 ( ) , (1) n n a x x
首先讨论幂级数(2)的收敛性问题.显然形如(2)的任意一个幂级数在x=0处总是收敛的.除此之外，它还在哪些点收敛？我们有下面重要的定理定理14. 1（(阿贝耳定理）若幂级数(2)在x=x±0收敛，则对满足不等式Ix<xI的任何x，幂级数(2)收敛而且绝对收敛;若幂级数(2)在x=x时发散则对满足不等式Ix>x|的任何x，幂级数(2)发散返回前页后页
前页 后页 返回 首先讨论幂级数(2)的收敛性问题. 显然形如(2)的任 意一个幂级数在 x = 0 处总是收敛的. 除此之外, 它 还在哪些点收敛? 我们有下面重要的定理. 定理14.1 (阿贝耳定理) 若幂级数(2)在 x x = 0 收敛, 则对满足不等式 | | | | x x 的任何 x ,幂级数 (2)收敛而且绝对收敛;若幂级数(2)在 x x = 时发散, 则对满足不等 式 | | | | x x 的任何 x ,幂级数(2)发散
80证设级数女a,x"收敛,从而数列(a,x")收敛于零n=0且有界，即存在某正数M,使得Ia,x"< M (n= 0,1,2,...).对任意一个满足不等式[x<|x|的x,设X<1,x则有tnxa,x"..< Mr"a,/-"xZMr"收敛，故由优级数判别法知幂级数由于级数n=0前页后页返回
前页 后页 返回 且有界, 即存在某正数 M, 使得 | | ( 0,1,2, ). n n a x M n = 对任意一个满足不等式 的 设 | | | | , x x x 1, x r x = 则有 | | | | . n n n n n n n n n n x x a x a x a x Mr x x = = 由于级数 0 n n Mr = 收敛, 故由优级数判别法知幂级数 证 0 , { } n n n n n 设级数 收敛 从而数列 收敛于零 a x a x =
(2)当xx时绝对收敛下面证明定理的第二部分.设幂级数(2)在x=x时发散,如果存在一个x,满足不等式lx>xl,且使Q级数a,x°收敛，则由定理得第一部分知,幂级数n=0(2)应该在x=x时绝对收敛,与假设矛盾.所以对一切满足不等式/x>x|的x,幂级数(2)都发散注由定理14.1知道：幕级数(2)的收敛域是以原点为中心的区间！这是非常好的性质.若以2R表示区返回前页后页
前页 后页 返回 (2)当 | | | | x x 时绝对收敛. 下面证明定理的第二部分. 设幂级数(2)在 x x = 时 0 x 0 发散, 如果存在一个 , 满足不等式 | | | | x x , 且使 级数 0 0 n n n a x = 收敛, 则由定理得第一部分知, 幂级数 (2)应该在 x x = 时绝对收敛, 与假设矛盾. 所以对一 切满足不等式 | | | | , x x x 的 幂级数(2)都发散. 注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点 为中心的区间！这是非常好的性质.若以2R表示区