《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十八章 隐函数定理及其定理

(a)“一点正,一片正"yJ+B由条件(iv)，不妨设yoJo-βF,(xo, Jo) >0.0o-β xo Xo+β x因为 F,(x,y)连续，所以根据(a)一点正,一片正保号性，3β>0，使得F,(x,y)>0, (x,y)eS,其中 S=[xo-β,xo+β]x[yo-β,yo+β]cD后页返回前页

前页 后页 返回 0 0 0 0 其中 S x x y y D. = − +  − +  [ , ] [ , ]     F (x, y) 0, (x, y) S, y   0 0 ( , ) 0. F x y y  (a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设 F (x, y) 因为 y 连续，所以根据 保号性，    0 , 使得 (a) 一点正,一片正 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + x 0 x0− x 0 x + y0 • 0 y − 0 y + y S O

(b)“正、负上下分”因 F,(x,y)>0, (x,y)e S, 故 Vxe[xo-β,Xo+βl,把 F(x,y)看作的函数，它在[yo-β,yo+β]上严格增，且连续(据条件(i))yt+++++Jo +β特别对于函数 F(xo,y)，由条yo件 F(xo,yo)=0 可知-β福O xo-β xo Xo+β xF(xo,yo +β) >0,(b)正、负上下分F(xo, yo -β)<0.后页返回前页

前页 后页 返回 0 0 F x y ( , ) 0, +   (b) 正、负上下分 ＋ ＋ ＋ • • _• _ _ + _ 0 x y O 0 x − 0 x + 0 x 0 y + 0 y − 0 y (b) “正、负上下分 ” F (x, y) 0, (x, y) S, y   [ , ], 因 故  x  x0 −  x0 +  F(x, y) y [ , ] 把 看作 的函数，它在 y0 −  y0 +  上 严格增，且连续 ( 据条件 (i) )． 0 特别对于函数 F x y ( , ), 由条 0 0 件 可知 F x y ( , ) 0 = 0 0 F x y ( , ) 0. −  

(c)“同号两边伸”因为F(x,yo-β)，F(x,yo+β)关于x连续，故由(b)的结论，根据保号性,α(0<α≤β)，使得y++++F(x, yo+β)>0,yo+βyoF(x, yo-β)<0,yo-βxE(x-aα,x+α)01Xoxo-α~0xo+α(d)“利用介值性”(c）同号两边伸V(xo-α,xo+α)，因 F(,)关于 连续,且严格增，故由(c)的结论，依据介值性定理，存在惟后页返回前页

前页 后页 返回 因为 F(x, y0−  ), F(x, y0 +  ) 关于 x 连续，故由 (b) 的结论，根据保号性，  (0    ), 使得 0 F x y ( , ) 0 , −   (c) 同号两边伸 • ＋＋＋＋ － － － － x 0 x y 0 y O 0 x − 0 x + y0− 0 y + • • (c) “同号两边伸” (d) “利用介值性” ˆ ( , ) ,  x  x0− x0 + 因 F(x ˆ , y) 关于 y 连续, 且严 格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟 0 F x y ( , ) 0 , +   0 0 x x x  − + ( , ).  

一的 e(yo-β,yo +β),满足y++++yo+βF(x,)=0. 由x 的任意性,这U(P)yo就证得存在惟一的隐函数：y=f(x)Jo-βXOy= f(x),Xo-αxo+α(d)利用介值性xeI =(x -α, xo +α),ye J =(yo-β, yo +β)若记 U(P)=I×J，则定理结论 1°得证下面再来证明上述隐函数的连续性：即(x-α,x+α)，欲证上述f(x)在连续后页返回前页

前页 后页 返回 (d) 利用介值性 ＋＋＋＋ － － － － x 0 x y 0 y O 0 x − 0 x + 0 U P( ) 0 y − 0 y + y f x = ( ) • • • 一的 y y y ˆ  − + ( , ), 0 0   满足 就证得存在惟一的隐函数: F(x ˆ , y ˆ) = 0. 由 x ˆ 的任意性, 这 0 0 0 0 ( , ), ( , ). x I x x y J y y       = − +     = − +  ( ) , 0 U P = I  J  若记 则定理结论 1 得证． 下面再来证明上述隐函数的连续性: 0 0 即  − + x x x ( , ) ,   欲证上述 f (x) 在 x 连续. y f x = ( )

如图182所示，Vε>0,取yyo+β8足够小，使得++++J+Poyo-β≤-&<+&≤yo+β,IM其中=f(x).J-syo-βx由 F(x,y)对严格增，而X-8olF(x,J) = 0,图 18—2推知F(x,J-8)<0,F(x,J+8)>0 .类似于前面(c)，3S>0,使得后页返回前页

前页 后页 返回 0 0 y y y y −  −  +  +     , F x y F x y ( , ) 0 , ( , ) 0 . −  +    类似于前面 (c) ，   0, 使得 F x y ( , ) 0, = 由 F(x, y) 对 y 严格增，而 其中 y f x = ( ). 推知 . . x x O y x− x+ y y − y + y0− y0+ ＋＋＋＋ －－－－ P0 . . 图 18－2  足够小，使得 如图 18－2 所示,   0, 取