例7考虑例3的欧氏空间c[a,b]，由不等式（6)推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数f(x),g(x),有不等式(8) f(x)g(x)dx≤ /" f (x)dx f'g (x)dx.（8）式称为施瓦兹（Schwarz）不等式里被（7）和（8）在欧氏空间的不等式(6)统一 起来.因此通常把（6）式称为柯西-施瓦兹不等式
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数 ( ), (xgxf ), 有不等式 )()( .)()( 2 2 b a b a b a xgxf dx x dx gf x dx (8) (8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式
例8 设≤,n为欧氏空间V中任意两个非零向量.证明s,n的夹角为0;(1) =an(a>O)当且仅当,n的夹角为；(2) =an(a<O)当且仅当
例8 设 , 为欧氏空间V 中任意两个 (1) aa )0( 当且仅当 的夹角为0; 非零向量.证明: , (2) aa )0( 当且仅当 , 的夹角为π;
8. 1.3向量的正交定义4欧氏空间的两个向量与n说是正交的<5,n>= 0如果定理8.1.2在一个欧氏空间里，如果向量与n,2,nr中每一个正交，那么与ni,n2,nr的任意一个线性组合也正交
8.1.3 向量的正交 定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的, 如果 , 0 定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ r , 21 中每一个正交，那么ξ与 21 , r 的任意一个线性组合也正交. 与
思考题1：设 α,β 是n 维欧氏空间中两个不同的向量,且α=β=1,(α,β) ±1.证明：思考题2：在欧氏空间 Rn中，设α, = (ai,ai2,..-,ain)(i = 1,2,...,n)两两正交,且α，的长度Iα, =i,A=(aj,) nxn求 A 的行列式|A|的值
思考题1：设 , 是 n 维欧氏空间V 中 ,1|||| 证明: .1, 两个不同的向量,且 思考题2：在欧氏空间 n R 中,设 iii 21 ,( i n )( niaaa ),2,1 两两正交,且 i 的长度 i i j nn aAi )(,|| 求 A 的行列式 A || 的值
正交基8.2一、 内容分布8.2.1正交组的定义、性质8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性8.2.3子空间的正交补8.2.4正交矩阵的概念8.2.5n维欧氏空间同构的概念及判别教学目的：1：准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念及基本性质2.能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个标准正交向量组3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及基本性质，并会求某些子空间的正交补4掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系5：掌握维欧氏空间同构的概念及基本理论三、重点难点：正交向量组、维欧氏空间的标准正交基等概念：子空间的正交补的概念及基本性质：施密特正交化方法
8.2 正交基 一、内容分布 8.2.1正交组的定义、性质 8.2.2标准正交基的定义、性质及存在性 8.2.3子空间的正交补 8.2.4正交矩阵的概念 8.2.5 n维欧氏空间同构的概念及判别 二、教学目的： 1．准确理解和掌握正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念 及基本性质． 2．能熟练运用施密特正交化方法，由一个线性无关向量组求出一个 标准正交向量组 3．能掌握一个向量与一个非空子集正交、子空间的正交补的概念及 基本性质，并会求某些子空间的正交补． 4．掌握正交矩阵的概念及其与标准正交基的关系． 5．掌握n维欧氏空间同构的概念及基本理论． 三、重点难点：正交向量组、n维欧氏空间的标准正交基等概念; 子空 间的正交补的概念及基本性质;施密特正交化方法