8.2.1正交组的定义、性质1.正交组的定义定义1欧氏空间的一组两两正交的非零向量叫做的一个正交组，如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，这个正交组就叫做一个标准正交组例1向量0;={0α, = (0,1,0),α21R3 一个标准正交组，因为构成[α1| =[α2| = [α3] = 1,<α1,α, >=<α2,α >=<α3,α, >= 0
8.2.1正交组的定义、性质 定义1 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的 一个正交组,如果一个正交组的每一个向量都是单位向 量, 这个正交组就叫做一个标准正交组. 1．正交组的定义 例1 向量 , 2 1 ,0, 2 1 ,0,1,0 1 2 2 1 ,0, 2 1 3 构成 3 R 一个标准正交组，因为 321 ,1 .0, 21 32 13
例2考虑定义在闭区间[0,2元】上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0,2元]（参看8.1例3），函数组(1) 1, cosx, sinx, ... , cosnx ,sinnx, ..构成 C[0,2元] 的一个正交组
]2,0[ C ]2,0[ 例2 考虑定义在闭区间 函数所作成的欧氏空间 （参看8.1例3），函数组 的一个正交组。 (1) 1，cosx, sinx, . ,cosnx ,sinnx,. 构成 上一切连续 C ]2,0[
事实上，我们有2元1dx=2元,元,若m=n,2元cosmxcosnxdx [0,若m≠n,元,若m=n,元sin mxsin nxdx0,若m≠n
2 0 dx ,21 2 0 , ,0 sinsin nm nm mx nxdx 若 若 ,0 , coscos 2 0 nm nm mx nxdx 若 若 事实上，我们有
2元sinnxdx = 0cosmxsinnxdx =cosnxdx =C所以<1,1>= 2元,<cosnx,cosnx >=< sin nx,sinnx >= 元,<1, cosnx >=< 1, sinnx >=0<cosmx,cosnx>=<sinmx,sinnx>=<cosmx,sin nx>=0,若m≠n,把（1）中每一向量除以它长度，我们就得C[O，2π]的一个标准正交组sin xsin nx,coSx,cosnx,V元V元V元V元T
2 2 2 0 0 0 cos sin cos sin 0 1,1 2 , cos ,cos sin ,sin , 1,cos 1,sin 0, cos ,cos sin ,sin mx nxdx nxdx nxdx nx nx nx nx nx nx mx nx mx nx 所以 ,0 sin,cos nm mx nx 若 把（1）中每一向量除以它长度，我们就得 C[0，2π]的一个标准正交组 sin ,. 1 ,cos 1 sin ,., 1 ,cos 1 , 2 1 xx nx nx
2.正交组的性质定理8.2.1 设{α1,α2,…,αn）是欧氏空间的一个正交组，那么α1,α2，,αn线性无关证：设有（&130=R使得Eaa6S7-j=l:+anαn =0a,α +2机1Za,(a.a)"=a(aa.)因为当i≠j 时 i,α,>=0，所以但<αi,α,)=0,所以α; =1,2,,n,即α1.α2,αn线性无关
2．正交组的性质 定理8.2.1 设 },{ 21 n 一个正交组，那么 n , 21 线性无关. 是欧氏空间的 证：设有 21 , n Raaa 使得 aa 2211 a nn 0 因为当i≠j 时 0, ji ，所以 但 0, ii ，所以 i na ,2,1 即 n , 21 线性无关. iii n j jij n j i jji a a a , , ,0,0 1 1