例3令C[a.bl是定义在[a,bl上一切连续实函数所成的向量空间，f(x),g(x)EC[a,b]我们规定 < f,g >= (f(x)g(x)dx.根据定积分的基本性质可知，内积的公理1)---4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间，例4 令H是一切平方和收敛的实数列 =(Xi,X2..., Xn)><+8Xnn=所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标量与向量的乘法：
例3 令C[a,b]是定义在[a,b]上一切连续实函数 ( ), baCxgxf ],[)( 我们规定 所成的向量空间, xgxfgf dx.)()(, b a 根据定积分的基本性质可知,内积的公理 1)-4)都被满足,因而C[a,b]作成一个欧氏空间. 例4 令H是一切平方和收敛的实数列 ,( ,., ), 21 n xxx 1 2 n xn 所成的集合.在H中用自然的方式定义加法和标 量与向量的乘法:
设 =(xi,X2...),n=(yi,y2,...),a R规定 =+n=(xi + yi,x2 +y2...); a==(axi,ax2..)的内积由公式向量 =(xi,X2,..),n=(y1,y2,..)8Z<5,n>=Xnynn=l给出，那么H是一个欧氏空间为向量空间练习1 α=(αi,α,),β=(bi,b,)中任意两向量,证明：R2 对(α,β)= ma,b, +na,b,作成欧氏空间的充分必要条件是m>0,n>0
设 ,(,.),( ), . 21 21 Rayyxx ,.);,( 2211 yxyx ,( ,.) 21 规定 a axax 1 , n nn yx 向量 的内积由公式 给出，那么H是一个欧氏空间. ),(,.),( 21 yyxx 21 ,( ), ),( 21 bbaa 21 2 R 2211 , ma b na b 练习1 为向量空间 中任意两向量,证明: 对 作成欧氏空间的充分必要条件是m > 0, n > 0
8.1.2向量的长度、两非零向量的夹角定义2设是欧氏空间的一个向量，非负实数<5,5><,>的算术根叫做的长度，向量的长度用符号1表示： [=<5,>定理8.1.1在一个欧氏空间单，对于任意向量5,n.有不等式(6)<5,5>≤<5,><n,n>当且仅当与n线性相关时，上式才取等号
8.1.2 向量的长度、两非零向量的夹角 , , , 定义2 设ξ是欧氏空间的一个向量，非负实数 的算术根 叫做ξ的长度，向量ξ的长度用符号 表示： 定理8.1.1 在一个欧氏空间里,对于任意向量 ., 有不等式 , 2 (6) 当且仅当ξ与η线性相关时，上式才取等号
定义3设与是欧氏空间的两个非零向量与n的夹角e由以下公式定义：cosO=≤5,n>[51-1nl例5令R"是例1 中的欧氏空间.Rn中向量的长度是E=(Xi,X2...Xn)[5=/<5,5>=/x+x2+...+x由长度的定义，对于欧氏空间中任意向量和任意实数a,有
定义3 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义： , cos 例5 令 n R 是例1 中的欧氏空间. 中向量 ),.,( 21 n xxx 的长度是 2 2 2 2 1 , . n xxx 由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和 任意实数a,有 n R
===注：一个实数a与一个向量的乘积的长度等于a的绝对值与的长度的乘积例 6考虑例1的欧式空间由不等式（6）推出，对于任意实数ai,a2,an,bi,bz,",bn有不等式(7)(ab +..+anbn)? ≤(ai +...+an)'(b, +...+b,)?（7）式称为柯西（Cauchy）不等式
注：一个实数a与一个向量ξ的乘积的长度 等于a的绝对值与ξ的长度的乘积. 例 6 考虑例 1 的欧式空间 n 由不等式 R (6)推出,对于任意实数 n bbbaaa n , 21 21 有不等式 2 1 2 1 2 11 ( () () ) nn n bbaababa n (7) (7)式称为柯西(Cauchy)不等式. , aaaa , a 2