而α1,α2,",αn线性无关，故即有关系式(6-3)例8在例7中，我们有1100-100(,β2β,)=(α,ααα0200００100-1110001001000C-100020001200010001故-1010x-x2X专1000x2x2311000x3清12[x4]X400X401这与例7所得的结果是一致的s4线性变换定义5设A、B是两非空集合，如果对于A中的任一元素α，按照一定的法则，总有B中的一个确定的元素β与之对应，那么这个法则称为从集合A到集合B的映射.如果A=B，A到A的映射称为4的变换映射常用?表示，A的变换常用T表示A到B的映射β使B中的β与A中的α对应，就记β=(α)或β=α此时，β称为α在映射下的傻，α称为β在β下的愿像，β的像的全体构成的集合称为的像集，记作(A)，即β (A)=(β (α)IαEA)映射的概念是函数概念的推广，例9设A=R,B=R+，(x)=x2+3是R到R+的一个映射，它把×映射到x2+3，7是-2在?下的像定义6设U，V是R上的两个线性空间，是V到U上的一个映射，如果β满足(1) VαβEV,(α+β)=(α)+(β);6
6 而 1, 2,., n 线性无关，故即有关系式(6-3). 例 8 在例 7 中，我们有 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 0 0 0 1 0 0 ( , , , ) ( , , , ) , 0 0 2 0 0 0 0 1 = 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 , 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 C − − − = = 故 1 2 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 . 0 0 0 2 2 0 0 0 1 x x x x x x x x x x x x x − − = = 这与例 7 所得的结果是一致的. §4 线性变换 定义 5 设 A、B 是两非空集合，如果对于 A 中的任一元素 ，按照一定的法则，总有 B 中的一个确定的元素 与之对应，那么这个法则称为从集合 A 到集合 B 的映射.如果 A＝ Ｂ，A 到 A 的映射称为 A 的变换. 映射常用 表示，A 的变换常用 T 表示. A 到 B 的映射 使 B 中的 与Ａ中的 对应，就记 ＝ ( )或 ＝ ， 此时，β称为 在映射 下的像， 称为 在 下的原像， 的像的全体构成的集合称 为 的像集，记作 (A)，即 (A)＝｛ ( )｜ ∈A｝. 映射的概念是函数概念的推广. 例 9 设 A＝R,B＝R ＋ , (x)＝x 2＋３是 R 到 R ＋的一个映射，它把 x 映射到 x 2＋3，7 是−2 在 下的像. 定义 6 设 U，V 是 R 上的两个线性空间， 是 V 到 U 上的一个映射，如果 满足 (1) ， ∈V, ( + )＝ ( )+ ( )；
(2)kER, αEV, (kα)=kp (α),那么，β就称为V到U的线性映射当V=U时，V到U的线性映射称为V的线性变换例10在线性空间P［x]中，微分运算D是一个线性变换.因D [(x)+g(x)] = [(x)+g(x)] =f (x)+g' (x)=D(x)+Dg(x),D [k(x)] =[k(x)] ~=k" (x)=kDf(x),例11由关系式cosa-sinαAsinαcosαyV确定xOy平面上的一个线性变换，T把任一向量按逆时针方向旋转α角例12在线性空间R3中，变换T(α)=α+(1,0,0), αER3T不是R的线性变换因T(0α)=T(0)=(0,0,0)+(1,0,0)≠0=0 · T(α).线性变换具有下述性质：(I)T(0)=0,T(-α)=-T(α);(2)若β=kiα1+kzα2十..+kmαm则T β=kiT αi+kT α2+.+kmT αm,(3)若α1,α2"αm线性相关，则α1,Tα2",Tαm也线性相关只证T(O)=0，其余请读者自证因T(0)=T(0·0)=0·T(0)=0(4）线性变换T的像集T(V)是V的子空闻，称为T的像空间证设β，βETV，那么，存在α，α2EV使βi=Tαi,β2=Tα2,从而β+β,=Tα,+Tα,=T(α,+α)eT(V)(因α1,α2EV);kβ,=kTα,=T(kα)eT(V)(因kαEV)因此，T(V)是V的子空间(5)使Tα=0的α的全体(αIαV,Tα=0)也是V的子空间，称为线性变换T的核，记为T(O)证设α1，α2ET-(0),那么α=Tα2=0,从而T(α +α,)=Tα +Tα,=0+0=0,即α, +α, T-I(0),T(kα)=kT(α)=k-0=0,即kα, T-(0)7
7 (2) k∈R， ∈V， (k )=k ( )， 那么， 就称为 V 到 U 的线性映射. 当 V＝U 时，V 到 U 的线性映射称为 V 的线性变换. 例 10 在线性空间 P［x］３中，微分运算 D 是一个线性变换.因 D［f(x)＋g(x)］＝［f(x)+g(x)］′＝f′(x)+g′(x)＝Df(x)+Dg(x)， D［kf(x)］=［kf(x)］′＝kf′(x)＝kDf(x). 例 11 由关系式 cos sin sin cos x x T y y − = 确定 xOy 平面上的一个线性变换，T 把任一向量按逆时针方向旋转 角. 例 12 在线性空间 R3 中，变换 Ｔ( )= +(1,0,0), ∈R3 . T 不是 R3 的线性变换. 因 T (0 )＝Ｔ(0)=(0,0,0)+(1,0,0)≠0=0·T ( ). 线性变换具有下述性质： (1) T (0)＝0,T (- )＝－T ( )； (2) 若 ＝k1 1＋k2 2＋.＋km m,则 T ＝k1Ｔ 1＋k2T 2＋.＋kmT m; (3) 若 1, 2,., m线性相关，则 T 1,T 2,.,T m也线性相关. 只证 T(0)＝0，其余请读者自证. 因 T(0)＝T(0·0)＝0·T(0)＝0. (4) 线性变换 T 的像集 T(V)是 V 的子空间，称为 T 的像空间. 证 设 1， 2∈T(V)，那么，存在 1， 2∈V 使 1＝T 1， 2＝Ｔ 2， 从而 1 2 1 2 1 2 + = + = + T T T T V ( ) ( ) (因 1， 2∈V)； 1 1 1 k kT T k T V = = ( ) ( ) (因 k 1∈V）. 因此，T(V)是 V 的子空间. (5) 使 T ＝0 的 的全体 ｛ ｜ ∈V,T ＝0｝ 也是 V 的子空间，称为线性变换 T 的核，记为 T -1 (0). 证 设 1， 2∈T -1 (0),那么 T 1＝T 2＝0， 从而 1 2 1 2 T T T ( ) + = + = + = 0 0 0 ，即 1 1 2 T ( ) − + 0 ， 1 1 T k kT k ( ) ( ) = = = 0 0,即 1 1 k T ( ) − 0