《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）Chapter 13 Anharmonic Effects in Crystals

u(ao +)-B2 +g003hoo245u (x)u(x)一力常效小力常嫩大X力常效对u(x)的影响四次方项对势能的影响u(x)u(r)平均距离沿此线变化0x0X非简谐势简谐势

23 4 0 00 0 11 1 ( ) 2 6 24 ua g h    ￾=    2 6 24

我们先只取到三次方项：u(a + 0) - Bo +#g06按照Boltzman统计，处于热平衡时，对平衡态的偏离：1kTdsde（求解比较繁琐，1goS:kgT需要假定：8。<β）112BkTds显然，不考虑三次方项，g。=0,8=0 不会发生热膨胀。考虑了三次项后即可以解释热膨胀，此时线膨胀系数是常数：1 dsgokB=常数a dT2 βao如果考虑比三次方以上的更高次项，膨胀系数就不再是线中性的。实验曲线表明了这点

我们先只取到三次方项： 2 3 0 00 1 1 ( ) 2 6 ua g    ￾=   按照 Boltzman 统计，处于热平衡时，对平衡态的偏离： 2 6 按照 统计 衡 对 衡 偏离 d 1 u kT e g      （求解比较繁琐， 0 2 0 1 2 du B kT g k T e            （求解比较繁琐， 需要假定： ） o 0 g    显然，不考虑三次方项， 不会发生热膨胀。 0 g  0, 0   考虑了三次项后即可以解释热膨胀，此时线膨胀系数是常数： 0 1 d B  g k 2 0 00 1 d d 2 B g k aT a     ＝常数 如果考虑比三次方以上的更高次项，膨胀系数就不再是线 性的。实验曲线表明了这点

5.46三相点1.625.421.66Y/鲁装料(f-o.8)/5.381.70度5.341.745.301.78020406080温度/K见Kittelp89图15固态氟的晶格常量与温度的函数关系

见Kittel p89

二.非简谐下的解：回顾分析力学对晶格振动的处理3N+(a3 +2(avav?Z-V=Vo+uu,+.ou)OuouOuou,ou1引入简正坐标：3Nmu,=Za,o,01,02, 03,04 I03Nj=1动能与势能：3N3N12Zo?0,0?T2 i=)i=1aLL=T-V正则动量：0P00

二. 非简谐下的解： 回顾分析力学对晶格振动的处理 33 3 2 3 1 1 NN N VV V V V u uu uu u                  ￾￾￾ 0 11 1 0 0 0 2 6 i i j i jk ii i i i j i jk V V u uu uu u   u uu uu u                        ￾￾￾. 引入简正坐标 3N  Q ： 1 i i ij j j mu a Q    1234 3 , QQQQ Q N ￾￾￾ 动能与势能： 3 1 2 N T Q   3 1 2 2 N V Q  2 1 i i T Q   2 1 i i i V Q    L L   T V i i i L p Q Q     正则动量： 

3NZ(p? +o'o)H=Op.-L2i=1正则方程：aH0QaHopQ, +0'Q, =0 i=1,2,3,..,3N应用正则方程得到：任意简正坐标的解：Q, = Asin(ot -8)

      N i i i i Qi H Q p L p 3 2 2 2 ( ) 21     i i i i i Qi pi p Q 1 ( ) 2 正则方程： H j j H Q H p        j j p H Q    2 0 应用正则方程得到： Q Q i ii   i N  1, 2,3, ,3  应用正则方程得到 Q Q i ii i N 1, 2,3, ,3 任意简正坐标的解： sin( ) QA t i i    任意简正坐标的解：