《固体物理学》课程教学课件（讲稿，Solid State Phyics）Chapter 18 band theory for solids Tight-Binding Model

5.4紧束缚模型（tight-bindingmodel)、定性说明、微扰计算三、具体例子参考：黄昆书4.5节p189阎守胜书3.3节p75和近自由电子近似认为原子实对电子的作用很弱相反，本节，我们假定原子实对电子的束缚作用很强，因此，当电子距某个原子实比较近时，电子的运动主要受该原子势场的影响，受其它原子势场的影响很弱。因此固体中电子的行为同孤立原子中电子的行为更为相似。这时可将孤立原子看成零级近似，而将其他原子势场的影响看成小的微扰，由此可以给出电子的原子能级和晶体能带之间的相互联系。这种方法称为紧束缚近似 (Tight Binding Approximation)

5.4 紧束缚模型 (tight-binding model) 一、定性说明 二、微扰计算 三、具体例子 参考：黄昆书4.5节p189 阎守胜书3.3节p75

一.定性说明：FIGURE24-13(a)TWOXBfinite potential wells B and (Ca)Eigenfunction associated with an没有相互作用的双势阱(b)clectron in well B with the groundXcstate energy, (c) Eigenfunctionassociated with an clectron in wel G(c)with the ground state energy.x,=a(xB+x)对称本征波函数FIGURE24-14(a)Symmetriceigentunction representing anclcctron that can be found with equlprobability in the two wellsofFig.2413 with the ground stateenergy (0)Probabiliry density associated with反对称本征波函数the symmeric cigenfunction in (a)(6)XA=a(XB-X)FIGURE24-15Antisymmetrecigentunction representing anelectron that can be found withequal probability in the two wellsof Fig, 24-13 with thc groundstate cnergy. (b) Probability densinyassociated with the antisymmetnccigenfunction of (e)

一 . 定性说明： 没有相互作用的双势阱 xB xC xs=a(xB+xC) 对称本征波函数 xs2 反对称本征波函数 xA=a(xB-xC) xA2

势阱靠近并产生相互作用对称本征波函数（成键态）XS=a(XB+XC)(b)(a)FIGURE 24-16When the two wells are very close together, the symmetric cigenfunction ofFig,24-14 looks like the ground state eigenfunction fora finite well of width 2a (see Fig.24-12a)反对称本征波函数（反键态）(b)FIGURE 24-17When the wells are very closetogether,the antisymmetric cigenfunction ofFig.24-15looks like thefirst excited state ofa finitewell of width2a (see Fig,24-12b)

势阱靠近并产生相互作用 对称本征波函数（成键态） 反对称本征波函数（反键态）

紧束缚模型：体系波函数是原子波函数的线性组合-Linearcombinationofatomicorbitals(LCAO)首先忽略电子之间相互作用，其次采用单电子近似V?+VA,+VBiJV,=6,VHy,2m则猜测波函数为两个原子的线性组合：, =C,[PA(r,)+ A,PB(r))=±1若两个波函数相等，可以解出JyHydr2C?(H.. +Hab)V+=C+(PA+PB)Jyiy.drV_ =C(PA-PB)[y'Hy_dr= 2C2(Hg - Hab)Jy'y.dr

紧束缚模型：体系波函数是原子波函数的线性组合 - Linear combination of atomic orbitals (LCAO) 首先忽略电子之间相互作用，其次采用单电子近似 2  i VAi VBi i i i m H      ]   2 [  2 则猜测波函数为两个原子的线性组合：  ( ) ( )  i i A i i B i   C  r   r 则猜测波函数为两个原子的线性组合：  ( ) ( )  i i A i i B i   C  r   r 若两个波函数相等，可以解出    1 ( )    C  A   B 2 ( ) 2 * * C Haa Hab dr H dr                 ( )    C  A   B 2 ( ) 2 * C H H b H dr dr                2 ( ) * C Haa H a b dr        

Hydr=2C?(Ha。+Hab）成键轨道，对称波函数Jyy.drBonding orbitalJy'Hy_dr= 2C?(H..-H.b)反键轨道，反对称波函数-Jyy.drAnti-bondingorbitalHaa =[,HPadr =HPedr 80Hab=Jo,Hodr<0H表征了电子受到两个原子核的库仑相互作用，与两个原子波函数重叠成正比，这个波函数的重叠也被称为重叠积分，表征了共价键中相互作用的强弱。两个电子同时占据成键轨道，因此能量得以下降原子轨道线形组合方法（LCAO）是化学学科常用说法，其物理思想本质和固体物理中的紧束缚方法（tight-binding)方法是完全一致的

2 ( ) 2 * * C Haa Hab d H dr            成键轨道，对称波函数 2 ( ) 2 * C H H H dr dr           Bonding orbital 2 ( ) 反键轨道 反对称波 数 2 * C Haa Hab dr             反键轨道，反对称波函数 Anti-bonding orbital * 0 * *       H H dr H dr aa A A B B      0 *    H H dr ab  A  B Hab 表征了电子受到两个原子核的库仑相互作用，与两个原子波函数重叠成正 比，这个波函数的重叠也被称为重叠积分，表征了共价键中相互作用的强 弱。 两个电子同时占据成键轨道，因此能量得以下降 原子轨道线形组合方法（LCAO）是化学学科常用说法，其物理思想本质 和固体物理中的紧束缚方法（tight-binding)方法是完全一致的