5.7晶体能带的对称性一.E,(k)函数的对称性二. E,(k)图示三。空格模型的能带见黄昆书4.6节p202晶体具有对称性，因而晶体中电子的运动状态也会具有对称性，所以表述运动状态的本征能量和本征态也具有对称性，了解了这种对称性，对于我们理解能带性质、简化要处理的问题会很有帮助。比如在计算和绘制k空间的能带图时，就可以充分利用其对称性质。晶体的对称性包括点对称操作和平移对称性，它们都会反映到本征能量的对称性上。晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称性相同，我们可以参照理解
5.7 晶体能带的对称性 晶体具有对称性，因而晶体中电子的运动状态也会具 有对称性，所以表述运动状态的本征能量和本征态也具有 对称性，了解了这种对称性，对于我们理解能带性质、简 化要处理的问题会很有帮助。比如在计算和绘制 k 空间的 能带图时，就可以充分利用其对称性质。 晶体的对称性包括点对称操作和平移对称性，它们都 会反映到本征能量的对称性上。 晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称 性相同，我们可以参照理解。 一. E n ( k)函数的对称性 二. E n ( k)图示 三. 空格模型的能带 见黄昆书 4.6 节 p202
一、E,(k)函数的对称性平移对称性1. E,(k)=E,(k +G)Bloch定理一节中曾指出简约波k表示原胞之间电子波函数位相的变化，如果k改变一个倒格量，它们所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的，也就是说k和k+G是等价的，从这点出发我们也可认为E,(k）是k空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢的取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里渊区内。我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区的每一块各自平移一个倒格矢而与第一Brillouin区重合。同理，更高的Brillouin区也可通过适当的平移与第一区重合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区内，它包含了晶体能带的所有必要信息。应特别注意，这个表达式只是对同一能带才正确
一、 En(k)函数的对称性 Bloch定理一节中曾指出简约波矢 k 表示原胞之间电 子波函数位相的变化，如果 k 改变一个倒格矢量，它们 所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的，也就是 说 k 和 k+Gh 是等价的，从这点出发我们也可认为 是 k 空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢的 取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里 渊区内。我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区 的每一块各自平移一个倒格矢而与第一Brillouin区重合。 同理，更高的Brillouin区也可通过适当的平移与第一区重 合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区内，它包含 了晶体能带的所有必要信息。 应特别注意，这个表达式只是对同一能带才正确。 ( ) ( ) n n Gh E k E k 1. En k 平移对称性
三两章已经讲过。FBZ2nd BZ3rd BZ正方晶格的头三个布里渊区
Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ FBZ 2nd BZ 3rd BZ 正方晶格的头三个布里渊区。 一、三两章 已经讲过
FBZ2nd BZ3rd BZ4th BZSimpleCubicLattice,FBZ:2ndBZ:3rdBZ:4thBZE,(k)= E,(αk)2点群对称性该式表明能带与晶格有相同的对称性。α为晶体所属点群的任一点对称操作。证明如后：
E (k ) E ( k ) n n 该式表明能带与晶格有相同的对称性。 为晶体所属 点群的任一点对称操作。证明如后： 2. 点群对称性 Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ; 4th BZ FBZ 2nd BZ 3rd BZ 4th BZ
设nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为E,(k)。Hyn(r)= E,(k)ymk(r)由于晶体在所属点群操作下保持不变，则点群操作α作用于本征函数的结果pn(r)= nk(αr)应为具有同样本征值的另一本征函数。Vm (ar + aR,) = ei-aRry m (ar)又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有：A.B= α(A.B)= αA·αBα-A.B=α-'αA.αB= A.αB
应为具有同样本征值的另一本征函数。 设 nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为 E n(k) 。 ( ) ( ) ( ) ˆH r E k r nk n nk 由于晶体在所属点群操作下保持不变，则点群操作 作用 于本征函数的结果 () ( ) n nk r r ( r R ) e ( r ) nk ik R nk n n A B A B A B A B A B A B 1 1 ( ) 又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有：