第十三章多元函数的极限与连续 §1.平面点集 1.设{P=(x2y)是平面点列,B=(x,y)是平面上的点证明imP=的充 要条件是 lim x=x0,且 lim y=y 2.设平面点列{P}收敛,证明{P}有界 3.判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域,并分别指出它们的聚点 (1)E={(x,y)y<x} (2)E={(xy)x2+y2叫l} (3)E={(x,y)xy≠0} (4)E={(xy)xy=0} (5)E=(x,y)10<y<2, 2y<x<2y+2) (6)E={(x,y)y=sin,x>0} (7)E={(x,y)|x2+y2=或y=0.0≤xsl (8)E={(x,y)lx,y均为整数} 4.设F是闭集,G是开集,证明F\G是闭集,G\F是开集 5.证明开集的余集是闭集 6.设E是平面点集证明P是E的聚点的充要条件是E中存在点列{B},满足 B≠P(n=12…)且lmP=P 7.用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理 8.用致密性定理证明柯西收敛原理 9.设E是平面点集,如果集合E的任一覆盖都有有限子覆盖,则称E是紧集.证明紧 集是有界闭集 10.设E是平面上的有界闭集,d(E)是E的直径,即 第1页共5页
第 1 页 共 5 页 第十三章 多元函数的极限与连续 §1. 平面点集 1． 设 P x y n n n = ( , ) 是平面点列， P x y 0 0 0 = ( , ) 是平面上的点. 证明 0 lim n n P P → = 的充 要条件是 0 lim n n x x → = ，且 0 lim n n y y → = . 2． 设平面点列 P n 收敛，证明 P n 有界. 3． 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1) ( ) 2 E x y y x = , | ； (2) ( ) 2 2 E x y x y = + , | 1 ； (3) E x y xy = ( , | 0 ) ； (4) E x y xy = = ( , | 0 ) ； (5) E x y y y x y = + ( , | 0 2,2 2 2 ) ； (6) ( ) 1 E x y y x , | sin , 0 x = = ； (7) ( ) 2 2 E x y x y y x = + = = , | 1 0,0 1 或 ； (8) E x y x y =( , | , ) 均为整数 . 4． 设 F 是闭集， G 是开集，证明 F G\ 是闭集， G F\ 是开集. 5． 证明开集的余集是闭集. 6． 设 E 是平面点集. 证明 P0 是 E 的聚点的充要条件是 E 中存在点列 P n ，满足 P P n n = 0 ( 1,2, ) 且 0 lim n n P P → = . 7． 用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理. 8． 用致密性定理证明柯西收敛原理. 9． 设 E 是平面点集，如果集合 E 的任一覆盖都有有限子覆盖，则称 E 是紧集. 证明紧 集是有界闭集. 10. 设 E 是平面上的有界闭集， d E( ) 是 E 的直径，即
d(e sup r(P, P P,P∈E 求证:存在P1,P∈E,使得r(P,P)=d(E) 1l.仿照平面点集,叙述n维欧氏空间中点集的有关概念(如邻域、极限、开集、聚 点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等) §2.多元函数的极限和连续性 叙述下列定义: (1)limf(x,y)=∞ (2)lim f(x,y)=A (3)Iim∫(x,y)=A (4)lim f(x,y)=o 2.求下列极限(包括非正常极限): sin(xty (3)lim (4)lim(x+y)sin/ x0 cos x-Sin y (7) lim 第2页共5页
第 2 页 共 5 页 ( ) ( ) ', '' sup ', '' P P E d E r P P = . 求证：存在 1 2 P P E , ，使得 r P P d E ( 1 2 , ) = ( ). 11. 仿照平面点集，叙述 n 维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚 点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等). §2. 多元函数的极限和连续性 1． 叙述下列定义： (1) ( ) 0 0 lim , x x y y f x y → → = ； (2) lim , ( ) x y f x y A →+ →− = ； (3) lim , ( ) x a y f x y A → →+ = ； (4) lim , ( ) x a y f x y → →+ = . 2． 求下列极限（包括非正常极限）： (1) 2 2 0 0 lim x y x y → x y → + + ； (2) ( ) 3 3 2 2 0 0 sin lim x y x y → x y → + + ； (3) 2 2 0 2 2 0 lim 1 1 x y x y x y → → + + + − ； (4) ( ) 2 2 0 0 1 lim sin x y x y → x y → + + ； (5) ( ) 2 2 2 2 0 0 lim ln x y x y x y → → + ； (6) 0 0 lim cos sin x y x y e e → x y → + − ； (7) 3 2 2 4 2 0 0 lim x y x y → x y → + ；
In(x+e (10) lim x→12 (11)li x+0x+y (12) lim (13)1im(x (14) lim/xy 3.讨论下列函数在(0,0)点的全面极限和两个累次极限 (1)f(x,y)= (2)f(x, y)=(x+y)sin-sin f(x, y) (x,y)= (7)/(r,y)=x+3ry+2ry 第3页共5页
第 3 页 共 5 页 (8) ( ) 0 2 sin lim x y xy → x → ； (9) ( ) 1 2 2 0 ln lim y x y x e x y → → + + ； (10) 1 2 1 lim x 2 y → x y → − ； (11) 4 4 0 0 1 lim x y xy → x y → + + ； (12) 2 2 2 2 0 0 1 lim x y x y → x y → + + + ； (13) ( ) 2 2 ( ) lim x y x y x y e − + →+ →+ + ； (14) 2 2 2 lim x x y xy →+ x y →+ + . 3． 讨论下列函数在 (0,0) 点的全面极限和两个累次极限： (1) ( ) 2 2 2 , x f x y x y = + ； (2) ( ) ( ) 1 1 f x y x y , sin sin x y = + ； (3) ( ) ( ) , sin x y e e f x y xy − = ； (4) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , x y f x y x y x y = + − ； (5) ( ) 3 3 2 , x y f x y x y + = + ； (6) ( ) 2 2 3 3 , x y f x y x y = + ； (7) ( ) ( ) 4 2 2 3 2 2 2 3 2 , x x y xy f x y x y + + = + ；
(8)f(xy) 4.叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理 5.叙述并证明Iim∫(x,y)存在的柯西收敛准则 6.试作出函数∫(xy),使当(xy)→(x,y)时, (1)全面极限和两个累次极限都不存在; (2)全面极限不存在,两个累次极限存在但不相等 (3)全面极限和两个累次极限都存在 7.讨论下列函数的连续范围 (1)f(x,y)= y (2)f(xy) sin xsin (3)f(x,y)=[x+y (4)f(x,y)= x+J ≠0 y x (6)f(xy)={√x2+y2 0, 0,x为无理数 (7)f(x,y)= y,x为有理数 (8)f(x,y)= y2(2+y2) 0, 0, (xy)={(x2+y2) 0, x 8.若f(x,y)在某区域G内对变量x连续,对变量y满足利普希茨条件,即对任意 (x,y)∈G和(x,y")∈G,有 第4页共5页
第 4 页 共 5 页 (8) ( ) ( ) 4 4 3 2 4 , x y f x y x y = + . 4． 叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 5． 叙述并证明 ( ) 0 0 lim , x x y y f x y → → 存在的柯西收敛准则. 6． 试作出函数 f x y ( , ) ，使当 ( x y x y , , ) →( 0 0 ) 时， (1) 全面极限和两个累次极限都不存在； (2) 全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等； (3) 全面极限和两个累次极限都存在. 7． 讨论下列函数的连续范围： (1) ( ) 2 2 1 f x y, x y = + ； (2) ( ) 1 , sin sin f x y x y = ； (3) f x y x y ( , ) = + ； (4) ( ) 3 3 , x y f x y x y + = + ； (5) ( ) sin ( ) , 0, , 0, 0; xy y f x y y y = = (6) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin , 0, , 0, 0; xy x y f x y x y x y + = + + = (7) ( ) 0, , , x f x y y x = 为无理数 为有理数 ； (8) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ln , 0, , 0, 0; y x y x y f x y x y + + = + = (9) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , 0, , ( 0) 0, 0, p x x y f x y p x y x y + = + + = . 8． 若 f x y ( , ) 在某区域 G 内对变量 x 连续，对变量 y 满足利普希茨条件，即对任意 ( x y G , ') 和 ( x y G , '') ，有
f(x,y)-(x,y")sLIy'-y" 其中L为常数,求证f(xy)在G内连续 9.证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理 10.设二元函数f(x,y)在全平面上连续,,limf(x,y)=A,求证 (1)f(x,y)在全平面有界 (2)f(x,y)在全平面一致连续 11证明:若f(xy)分别对每一变量x和y是连续的,并且对其中的一个是单调的, 则∫(x,y)是二元连续函数 证明:若E是有界闭域,f(xy)是E上的连续函数,则f(E)是闭区间 第5页共5页
第 5 页 共 5 页 f x y f x y L y y ( , ' , '' ' '' ) − − ( ) ， 其中 L 为常数，求证 f x y ( , ) 在 G 内连续. 9． 证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理. 10. 设二元函数 f x y ( , ) 在全平面上连续， ( ) 2 2 lim , x y f x y A + → = ，求证： (1) f x y ( , ) 在全平面有界； (2) f x y ( , ) 在全平面一致连续. 11. 证明：若 f x y ( , ) 分别对每一变量 x 和 y 是连续的，并且对其中的一个是单调的， 则 f x y ( , ) 是二元连续函数. 12. 证明：若 E 是有界闭域， f x y ( , ) 是 E 上的连续函数，则 f E( ) 是闭区间