第十六章隐函数存在定理、函数相关 §1.隐函数存在定理 1.设函数F(x,y)满足 (1)在区域D:x-a≤x≤x+a,y-b≤y≤y+b上连续; 2)F(x0,y0) (3)当x固定时,函数F(x,y)是y的严格单调函数 则可得到什么结论?试证明之 2.方程x2+y+sin(x)=0在原点附近能否用形如y=f(x)的方程表示?又能否用 形如x=g()的方程表示? 3.方程F(x,y)=y2-x2(1-x2)=0在哪些点的附近可唯一地确定单值、连续、且有 连续导数的函数y=f(x) 4.证明有唯一可导的函数y=y(x)满足方程sin+ sinh y=x,并求出导数y(x),其 中sinh 5.方程xy+zlny+e=1在点f(O0,11)的某邻域内能否确定出某一个变量是另外 两个变量的函数 6.设∫是一元函数,试问∫应满足什么条件,方程 f(y)=f(x)+f() 在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的y为x的函数 7.设有方程:x=y+(y),其中o()=0,且当=a<y<a时,|p(y)≤k<1.证 明:存在d>0,当-0<x<δ时,存在唯一的可微函数y=y(x)满足方程 x=y+(y)且y(0)=0 8.试讨论方程组 第1页共3页
第 1 页 共 3 页 第十六章 隐函数存在定理、函数相关 §1. 隐函数存在定理 1． 设函数 F x y ( , ) 满足 (1) 在区域 0 0 D x a x x a : − + ， 0 0 y b y y b − + 上连续； (2) 0 0 F x y ( , ) 0 = ； (3) 当 x 固定时，函数 F x y ( , ) 是 y 的严格单调函数； 则可得到什么结论？试证明之. 2． 方程 2 x y xy + + = sin( ) 0 在原点附近能否用形如 y f x = ( ) 的方程表示？又能否用 形如 x g y = ( ) 的方程表示？ 3． 方程 2 2 2 F x y y x x ( , ) (1 ) 0 = − − = 在哪些点的附近可唯一地确定单值、连续、且有 连续导数的函数 y f x = ( ) . 4． 证明有唯一可导的函数 y y x = ( ) 满足方程 sin sinh + = y x ，并求出导数 ' y x( ) ，其 中 sinh 2 y y e e y − − = . 5． 方程 ln 1 xz xy z y e + + = 在点 0P (0,1,1) 的某邻域内能否确定出某一个变量是另外 两个变量的函数. 6． 设 f 是一元函数，试问 f 应满足什么条件，方程 2 ( ) ( ) ( ) f xy f x f y = + 在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的 y 为 x 的函数. 7． 设有方程： x y y = +( ) ，其中 (0) 0 = ，且当 − a y a 时， ' ( ) 1 y k .证 明：存在 0 ，当 − x 时，存在唯一的可微函数 y y x = ( ) 满足方程 x y y = +( ) 且 y(0) 0 = . 8． 试讨论方程组
x+y+ 在点P(1,-1,2)的附近能否确定形如x=f(=),y=g(=)的隐函数组 9.求下列函数组的反函数组的偏导数 (1)设u=xcos-,v=xsin2,求 au ay au a (2)设=e2+ xsiny,I=e- xcos y,求,a,cy 10.设l 2,y=2,w=三,其中r=√yx2+y2+2 (1)试求以uw为自变量的反函数组 d(u,v, w) x,y,二 1.设f,9连续可微,且F(x1…x)=f(q1(x1)2(x2)…qn(xn)(=12,…n) 求 (F1,F2…En) (x1,x2…xn) 12.据理说明:在点(0,1)附近是否存在连续可微函数f(x,y)和g(x,y)满足 f(0,1)=1,g(0,1)=-1,且 f (x,y]+xg(x,y)-y=0, g(x,y)]+yf(x, y)-x=0 设 =f(x,y,=,1) g(y,=,1)=0, h(=,)=0 在什么条件下是x,y的函数?求 14.设函数=l(x)由方程组 =f(x,y,=) g(x,y,)=0, h(x,y,=)=0 第2页共3页
第 2 页 共 3 页 2 2 2 1 , 2 2 x y z x y z + = + + = 在点 0P (1, 1,2) − 的附近能否确定形如 x f z = ( ) ， y g z = ( ) 的隐函数组. 9. 求下列函数组的反函数组的偏导数： (1) 设 cos , sin y y u x v x x x = = ，求 , , , x x y y u v u v ； (2) 设 sin , cos x x u e x y v e x y = + = − ，求 , , , x x y y u v u v . 10. 设 2 x u r = ， 2 y v r = ， 2 z w r = ，其中 2 2 2 r x y z = + + . (1) 试求以 u v w , , 为自变量的反函数组； (2) 计算 ( , , ) ( , , ) u v w x y z . 11. 设 , i i f 连续可微，且 1 ( , F x i 1 1 2 2 ) ( ( ), ( ), n i x f x x = ( )) n n x ( 1,2, i = …n ) . 求 1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) n n F F F x x x . 12. 据 理 说明 ：在 点 (0,1) 附近 是否 存在 连续 可微 函数 f x y ( , ) 和 g( , ) x y 满 足 f g (0,1) 1, (0,1) 1 = = − ，且 3 3 ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0. f x y xg x y y g x y yf x y x + − = + − = 13. 设 ( , , , ), ( , , ) 0, ( , ) 0. u f x y z t g y z t h z t = = = 在什么条件下 u 是 x y, 的函数？求 , u u x y . 14. 设函数 u u x = ( ) 由方程组 ( , , ), ( , , ) 0, ( , , ) 0 u f x y z g x y z h x y z = = =
所确定,求血d2u dx dx2 15.设z=z(x,y)满足方程组 f(x,y,=,1)=0, g(x,y,=,)=0 求dz §2.函数行列式的性质、函数相关 f(x-ut,y f), g(x,y,)=0 求 这时t是自变量还是因变量? 2.设(x0,y,-0,4)满足方程组 f(x)+f(y)+f(-)=F(u), g(x,)+g(y)+g(=)=G(u) h(x,)+h(y)+h(=)=H() 这里所有的函数假定有连续的导数 (1)说出一个能在该点的邻域内确定x,y,作为的函数的充分条件; (2)在f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3的情形下,上述条件相当于什么? 3.设x=u,y ,取l,v为新的自变量,W为新的因变量,变换方 1+uv 1+iy 第3页共3页
第 3 页 共 3 页 所确定，求 2 2 , du d u dx dx . 15. 设 z z x y = ( , ) 满足方程组 ( , , , ) 0, ( , , , ) 0. f x y z t g x y z t = = 求 dz . §2. 函数行列式的性质、函数相关 1. 设 ( , , ), ( , , ) 0. u f x ut y ut z ut g x y z = − − − = 求 , u u x y .这时 t 是自变量还是因变量？ 2. 设 0 0 0 0 ( , , , ) x y z u 满足方程组 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ,) ( ) ( ) ( ), ( ,) ( ) ( ) ( ). f x f y f z F u g x g y g z G u h x h y h z H u + + = + + = + + = 这里所有的函数假定有连续的导数. (1) 说出一个能在该点的邻域内确定 x y z , , 作为 u 的函数的充分条件； (2) 在 2 3 f x x g x x h x x ( ) , ( ) , ( ) = = = 的情形下，上述条件相当于什么？ 3. 设 , , 1 1 u u x u y z uv uw = = = + + ，取 u v, 为新的自变量， w 为新的因变量，变换方 程 2 2 2 z z x y z x y + =