山东理工大学：《数学分析》课程授课教案（讲义）第十一章 函数项级数、幂级数

第十一章函数项级数、幂级数 §1.函数项级数的一致收敛性 1.讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性: (1)fn(x) x∈(-∞,+0 (2) f(x)=sin- i)x∈(-l,1),i)x∈(-∞,+∞) (3)fn(x)= 0,1) 1+nx (4)f(x)= 1+nx i)x∈[a,+∞),a>0,i)x∈(0,+∞); n (5)fn(x)= 1+n3x3 i)x∈[a,+∞),a>0,i)x∈(0,+∞); 6)fn(x)= 1+n+x x∈[0,1] (7)fn(x)= 1+x" i)x∈[0,b,b<1,i)x∈[0,1 i)x∈[a,+∞),a>l (8)fn(x)=x-x,x∈[0,1 (9)f0(x) x∈[0,1] 00fn(x)=-ln=,x∈(0,1), aDJ(x)=-ln(1+e),x∈(-∞,+∞); 第1页共9页

第 1 页 共 9 页 第十一章 函数项级数、幂级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ 2 2 1 ( ) n f x x n = + , x − + ( , ); ⑵ ( ) sin , n x f x n = i) x l l  −( , ), ii) x − + ( , ); ⑶ ( ) , 1 n nx f x nx = + x(0,1); ⑷ 1 ( ) , 1 n f x nx = + i) x a a  +  [ , ), 0, ii) x + (0, ); ⑸ 2 2 3 3 ( ) , 1 n n x f x n x = + i) x a a  +  [ , ), 0, ii) x + (0, ); ⑹ ( ) , 1 n nx f x n x = + + x[0,1]; ⑺ ( ) , 1 n n n x f x x = + i) x b b   [0, ], 1, ii) x[0,1]; iii) x a a  +  [ , ), 1; ⑻ 2 ( ) , n n n f x x x = − x[0,1]; ⑼ 1 ( ) , n n n f x x x + = − x[0,1]; ⑽ ( ) ln , n x x f x n n = x(0,1); ⑾ 1 ( ) ln(1 ), nx n f x e n − = + x − + ( , );

(2 f(x=e-(x-m) i)x∈[-l,1],i)x∈(-∞,+∞) 2.设∫(x)定义于(a,b),令 f(x)=(x)(m=12 求证:{fn(x)}在(a,b)上一致收敛于∫(x) 3.参数a取什么值时, fn(x)=nxe",n=1,2,3, 在闭区间[0.1收敛?在闭区间D一致收敛?使lmf,(x)x可在积分号下取极 限 4.证明序列f(x)=nxem(n=1,2,…)在闭区间[0,1上收敛,但 im(x≠lim「f(xh 5.设n(x)}是[a,b上的连续函数列,且{fn(x)}在[ab一致收敛于f(x);又 xn∈[a,b](n=1,2,…),满足lmxn=x,求证 lim f,(x)=f(x0) 6.按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性: )∑(1-x)x,x∈[o,l 1) x∈(-∞,+∞) (1+x2) 7.设∫n(x)(n=1,2,…)在[a,b]上有界,并且{f(x)}在[a,b]上一致收敛,求证: f(x)在[a,b]上一致有界 8.设f(x)在(a,b)内有连续的导数f(x),且 f(x)=[f(x+-)-f(x) 求证:在闭区间[a,](a<a<B<b)上,{fn(x)}一致收敛于f'(x) 9.设∫(x)在[a6上黎曼可积,定义函数序列 第2页共9页

第 2 页 共 9 页 ⑿ 2 ( ) ( ) , x n n f x e− − = i) x l l  −[ , ], ii) x − +  ( , ) 2. 设 f x( ) 定义于 ( , ) a b ，令 [ ( )] ( ) n nf x f x n = ( 1,2, ) n =  . 求证： { ( )} n f x 在 ( , ) a b 上一致收敛于 f x( ) . 3. 参数  取什么值时， ( ) , nx n f x n xe  − = n =  1,2,3, 在闭区间 [0,1] 收敛？在闭区间 [0,1] 一致收敛？使 1 0 lim ( ) n n f x dx −  可在积分号下取极 限？ 4. 证明序列 2 ( ) nx n f x nxe− = ( 1,2, ) n =  在闭区间 [0,1] 上收敛，但 1 1 0 0 lim ( ) lim ( ) . n n n n f x dx f x dx − −    5. 设 { ( )} n f x 是 [ , ] a b 上的连续函数列，且 { ( )} n f x 在 [ , ] a b 一致收敛于 f x( ) ；又 [ , ] n x a b  ( 1,2, ) n =  ，满足 0 lim n n x x − = ，求证 0 lim ( ) ( ). n n n f x f x − = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0 (1 ) , [0,1]; n n x x x  =  −  ⑵ 1 2 2 1 ( 1) , ( , ) (1 ) n n n x x x  − = −  − + +  . 7. 设 ( ) n f x ( 1,2, ) n =  在 [ , ] a b 上有界，并且 { ( )} n f x 在 [ , ] a b 上一致收敛，求证： ( ) n f x 在 [ , ] a b 上一致有界. 8. 设 f x( ) 在 ( , ) a b 内有连续的导数 f x ( ) ，且 1 ( ) [ ( ) ( )], n f x n f x f x n = + − 求证：在闭区间 [ , ]   ( ) a b      上， { ( )} n f x 一致收敛于 f x ( ) . 9. 设 1 f x( ) 在 [ , ] a b 上黎曼可积，定义函数序列

n(x)=fot(m=12…) 求证:{(x)}在[a,b上一致收敛于零 10.设{/(x)}在(a,b)内一致收敛于f(x),x∈(a,b)且 lim = 证明: lim a和limf(x)存在且相等,即 limlim f (x)=limlim f(x) 11.讨论下列函数项级数的一致收敛性: ()∑ sIn nx m x4,x∈(-0,+∞ x∈(-0,+00 n=lI+nx2 l)”(1-e ,x∈[0,+∞) O)sInn +27,x∈(-2,+) x∈(-0,+0 nal 1+nx ∑=(x+x"),sx2 ); x∈0,+∞ (8) 、xln”xx∈[0.1 ElF+r- F+ m-liy x∈(-∞,+∞) Ixer>l n=l 第3页共9页

第 3 页 共 9 页 1 ( ) ( ) x n n a f x f t dt + =  ( 1,2, ) n =  求证： { ( )} n f x 在 [ , ] a b 上一致收敛于零. 10. 设 { ( )} n f x 在 ( , ) a b 内一致收敛于 f x( ) ， 0 x a b ( , ) 且 0 lim ( ) , n n x x f x a − = ( 1,2, ) n =  . 证明： lim n n a − 和 0 lim ( ) x x f x − 存在且相等，即 0 0 lim lim ( ) lim lim ( ) n n n x x x x n f x f x − − − − = . 11. 讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 3 4 4 1 sin , ( , ); n nx x n x  =  − + +  ⑵ 4 2 1 , ( , ); n 1 x x n x  =  − + +  ⑶ 2 2 1 ( 1) (1 ) , [0, ); n nx n e x n x  − = − −  +  +  ⑷ 1 sin , ( 2, ); 2 n n nx x x  =  − + +  ⑸ 5 2 1 , ( , ); n 1 nx x n x  =  − + +  ⑹ 2 1 1 ( ), | | 2; ! 2 n n n n x x x n  − =  +   ⑺ 2 1 , [0, ); nx n x e x  − =   + ⑻ 1 ln , [0,1]; ! n n n x x x n  =   ⑼ 2 2 2 2 2 1 1 , ( , ); n ( 1) x x x n n  =     + − +  − +   −    ⑽ 1 , | | 1; n n n x r x  =   

In(1+nx) n,x∈[a,+∞),a>1 nx 12.讨论下列函数项级数的一致收敛性 2n丌 x∈(-∞,+∞) (2) sinxsin nx x∈[0,2x r+h、x∈(-1,+∞) h、x∈(-0,+∞) 2 x∈(0.+∞) ,kxk≤ ∑=,x∈[-10 2n+1 x∈[-1,] 13.设每一项(x)都是[ab]上的单调函数,如果∑q(x)在[a]的端点为绝对收 敛,那么这级数在[a,b]上一致收敛 14.证明级数∑(-1)+关于x在(-,+∞)上为一致收敛,但对任何x并非绝 对收敛:而级数∑ 虽在x∈(-∞,+∞)上绝对收敛,但并不一致收敛 如(1+x2) 15.若∑un(x)的一般项ln(x)cn(x),x∈X,并且∑c1(x)在X上一致收敛,证明 ln(x)在X上也一致收敛且绝对收敛 第4页共9页

第 4 页 共 9 页 ⑾ 1 ln(1 ) , [ , ), 1. n n nx x a a nx  = +   +  12. 讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 2 2 1 2 cos 3 , ( , ); n n x n x   =  − + +  ⑵ 1 sin sin , [0, 2 ]; n x nx x n x   =  +  ⑶ 1 ( 1) , ( 1, ); n n x x n  = −  − + +  ⑷ 1 ( 1) , ( , ); sin n n x n x  = −  − + +  ⑸ 1 1 2 sin , (0, ); 3 n n n x x  =   + ⑹ ( 1) 2 3 2 1 ( 1) , | | ; n n x n x a n e −  = −  +  ⑺ 1 , [ 1,0]; n n x x n  =   − ⑻ 2 1 1 ( 1) , [ 1,1]. 2 1 n n n x x n  + = −  − +  13. 设每一项 ( ) n  x 都是 [ , ] a b 上的单调函数，如果 ( ) n  x 在 [ , ] a b 的端点为绝对收 敛，那么这级数在 [ , ] a b 上一致收敛. 14. 证明级数 1 2 1 1 ( 1)n n n x  − = − +  关于 x 在 ( , ) − + 上为一致收敛，但对任何 x 并非绝 对收敛；而级数 2 2 1 (1 )n n x x  = +  虽在 x − + ( , ) 上绝对收敛，但并不一致收敛. 15. 若 1 ( ) n n u x  =  的一般项 | ( ) | ( ), , n n u x c x x X   并且 1 ( ) n n c x  =  在 X 上一致收敛，证明 1 ( ) n n u x  =  在 X 上也一致收敛且绝对收敛

§2.幂级数 1.求下列各幂级数的收敛域 (2) In(n+D) n+1 =l(n n (6) (2n+1)! () (-1)x2 +-+ 第5页共9页

第 5 页 共 9 页 §2. 幂级数 1． 求下列各幂级数的收敛域. ⑴ 1 (2 ) ; ! n n x n  =  ⑵ 1 1 ln( 1) ; 1 n n n x n  + = + +  ⑶ 1 1 ; n n n n x n  =     +            ⑷ 2 1 ; 2 n n n x  =  ⑸ 1 3 ( 1) ; n n n n x n  =   + −    ⑹ 1 3 ( 2) ( 1) ; n n n n x n  = + −  + ⑺ 1 (2 )!! ; (2 1)!! n n n x n  = +  ⑻ 2 1 1 1 ; n n n x n −  =     +    ⑼ 1 ( 1) ; n n n n x n n  = −  ⑽ 1 ; 5 7 n n n n x  = +  ⑾ 2 1 ( !) ; (2 )! n n n x n  =  ⑿ 1 1 1 1 ; 2 n n x n  =     + +  +    ⒀ 1 ; n n nx  = 